\begin{align*}
f(x)&=\alpha_nx^n+\alpha_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\alpha_1x+\alpha_0\\
g(x)&=\beta_nx^n+\beta_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\beta_1x+\beta_0
\end{align*}
onde $\alpha_i,\beta_i\in R$. (Note que nós não assumimos que $\alpha_n\neq 0$ e $\beta_n\neq 0$) então os graus de $f(x)$ e $g(x)$ podem não coincidir.) Defina
\begin{align*}
f(x)+g(x)&=(\alpha_n+\beta_n)x^n+(\alpha_{n-1}+\beta_{n-1})x^{n-1}+\cdots+(\alpha_1+\beta_1)x+\alpha_0+\beta_0;\\
f(x)g(x)&=c_{2n}x^{2n}+c_{2n-1}x^{2n-1}+\cdots +c_1x+c_0
\end{align*}
onde
\[
c_k=\sum_{i,j\in\{0,\ldots,n\}\\ i+j=k} a_ib_j.
\]
\begin{align*}
f(x)+g(x) &= x^3+x+\overline 1\\
f(x)g(x) & = (x^3+\overline 2x)(\overline 2x+\overline 1)=\overline 2x^4+x^3+x^2+\overline 2x.
\end{align*}
- $f(x)g(x)=0$ ou $\grau{f(x)g(x)}\leq \grau{f(x)}+\grau{g(x)}$.
- Se $R$ for um domínio, então $f(x)g(x)\neq 0$ e $\grau{f(x)g(x)}= \grau{f(x)}+\grau{g(x)}$
\begin{align*}
f(x)&=\alpha_nx^n+\alpha_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\alpha_1x+\alpha_0\\
g(x)&=\beta_mx^m+\beta_{m-1}x^{m-1}+\cdots+\beta_1x+\beta_0
\end{align*}
com $\alpha_i,\beta_j\in R$ e com $\alpha_n,\beta_m\neq 0$. Em particular, $\grau{f(x)}=n$ e $\grau{g(x)}=m$ e
\[
f(x)g(x)=\alpha_n\beta_mx^{m+n}+\cdots
\]
onde $\cdots$ significa uma soma de termos de grau menor que $m+n$. Como $R$ é um domínio, $\alpha_n\beta_m\neq 0$ e temos que $f(x)g(x)\neq 0$ e que
\[
\grau{f(x)g(x)}=m+n=\grau{f(x)}+\grau{g(x)}.
\]
\[
f(x)g(x)=(\overline 2x+\overline 1)(\overline 3x+\overline 1)=\overline 5x+\overline 1
\]
e assim $\grau{f(x)g(x)}=1$.
- $R[x]$ é um anel com as operações de $+$ e $\cdot$ entre polinômios.
- $R[x]$ é um domínio se e somente se $R$ é um domínio.
- Se $R$ é um domínio, então os elementos invertíveis de $R[x]$ são os elementos invertíveis de $R$ (considerados como polinômios de grau zero).
(2) Se $R$ é um domínio, então $R[x]$ é domínio pelo lema anterior. Vice versa, se $R[x]$ é um domínio e $a,b\in R\setminus\{0\}$, então $a$ e $b$ podem ser considerados como elementos de grau zero em $R[x]$. Como $R[x]$ é domínio, temos que $ab\neq 0$ e obtemos que $R$ também é domínio.
(3) Seja $R$ um domínio. É fácil verificar que um elemento invertível $\alpha\in R$ é invertível em $R[x]$. Assuma que $f(x)\in R[x]$ invertível. Então existe $g(x)\in R[x]$ tal que $f(x)g(x)=1$. Daí temos que $f(x),g(x)\neq 0$ e
\[
0=\grau{1}=\grau{f(x)g(x)}=\grau{f(x)}+\grau{g(x)}.
\]
Como os graus de $f(x)$ e de $g(x)$ são inteiros não negativos, segue que
\[
\grau{f(x)}=\grau{g(x)}=0;
\]
ou seja $f(x)=\alpha$ e $g(x)=\beta$ com $\alpha,\beta\in R$ e $\alpha\beta=1$. Portanto $f(x)=\alpha$ é um elemento invertível de $R$.