As propriedades principais da divisibilidade entre polinômios são as mesmas que entre números inteiros. No seguinte lema nós resumimos as propriedades mais importantes. Pode notar que o conceito da divisibilidade pode ser definido em um anel arbitrário (e não apenas nos anéis $\Z$ ou $R[x]$), mas nós não vamos fazer isso nesta disciplina.
- $f(x)\mid f(x)$.
- Se $f(x)\mid g(x)$ e $g(x)\mid h(x)$ então $f(x)\mid h(x)$.
- Se $R$ é um domínio, $f(x)\mid g(x)$ e $g(x)\mid f(x)$, então existe algum $\alpha\in R$ invertível tal que $g(x)=\alpha f(x)$.
(3) Assuma que $R$ é um domínio, $f(x)\mid g(x)$ e $g(x)\mid f(x)$. Se $f(x)=0$, então $g(x)=0$ e a afirmação está verdadeira. Assuma agora que $f(x)\neq 0$. Então existem $q_1(x),q_2(x)$ tais que $g(x)=f(x)q_1(x)$ e $f(x)=g(x)q_2(x)$. Logo
\[
f(x)=q_2(x)g(x)=q_2(x)q_1(x)f(x).
\]
Como $R$ é um domínio, $R[x]$ também é, e como $f(x)$ é não nulo aplica-se a lei cancelativa que implica que $1=q_2(x)q_1(x)$. Agora a definição de elementos invertíveis implica que $q_1(x)$ e $q_2(x)$ são invertíveis em $R[x]$ e obtemos de um lema anterior que $q_1(x)$ e $q_2(x)$ são elementos invertíveis de $R$.