- Se $c\mid ab$ e $\mdc bc=1$, então $c\mid a$.
- Se $\mdc ac=\mdc bc=1$, então $\mdc {ab}c=1$.
- Se $\mdc ab=d$, então $\mdc{a/d}{b/d}=1$.
- Se $a\mid c$ e $b\mid c$, então $(ab/\mdc ab)\mid c$.
- Se $a\mid c$, $b\mid c$ e $\mdc ab=1$, então $ab\mid c$.
\[
a=uab+vac.
\]
Como $c\mid ab$, o lado direito da última equação é divisível por $c$, e assim $c\mid a$.
2. Seja $d=\mdc{ab}c$. Como $\mdc ac=1$, existem $u,v\in\Z$ tais que
\[
1=ua+vc.
\]
Multiplique os dois lados desta igualdade por $b$ e obtenha
\[
b=uab+vbc.
\]
Pela definição de $d$, tem-se que $d\mid c$ e $d\mid ab$. Logo, pela última igualdade, obtemos que $d\mid b$. Logo $d\mid \mdc bc=1$; ou seja $d=\mdc{ab}c=1$.
3. Seja $d=\mdc ab$. Existem inteiros $q_1,q_2\in\Z$ tais que
\[
a=q_1d\quad\mbox{e}\quad b=q_2d.
\]
Além disso existem $u,v\in\Z$ tais que
\[
d=ua+vb=uq_1d+vq_2d.
\]
Dividindo os dois lados por $d$, obtemos que
\[
1=uq_1+vq_2.
\]
Note que se $d_1=\mdc{q_1}{q_2}$, então $d_1\mid 1$, logo $d_1=1$. Portanto
\[
\mdc{a/d}{b/d}=\mdc{q_1}{q_2}=1.
\]
4. Seja $d=\mdc ab$. Existem $u,v\in\Z$ tais que
\[
d=ua+vb.
\]
Multiplicando por $c$,
\[
cd=uac+vbc.
\]
Pelas condições, existem inteiros $q_1$, $q_2$ tais que $c=aq_1=bq_2$ e assim
\[
dc=uabq_2+vbaq_1=ab(uq_2+vq_1);
\]
ou seja
\[
c=\frac{ab}d(uq_2+vq_1).
\]
Isso implica que $ab/d\mid c$.
5. Segue da afirmação 4.