Considere um polinômio
\[
f(x)=x^2+bx+c\in\F[x]
\]
onde $\F$ é corpo arbitrário no qual $1+1\neq 0$. Queremos determinar as raízes de $f(x)$. Note que
\[
x^2+bx+c=(x+b/2)^2-b^2/4+c,
\]
e assim a equação $f(x)=0$ é equivalente à equação
\[
(x+b/2)^2=b^2/4-c=\frac{b^2-4c}4;
\]
ou seja
\[
x+b/2=\pm\frac{\sqrt{b^2-4c}}2.
\]
Assim as raízes do polinômio são $x_1$ e $x_2$ onde
\[
x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}2\quad\mbox{e}\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}2.
\]
As duas raízes são frequentemente escritas na forma
\[
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}2.
\]
\[
f(x)=x^2+bx+c\in\F[x]
\]
onde $\F$ é corpo arbitrário no qual $1+1\neq 0$. Queremos determinar as raízes de $f(x)$. Note que
\[
x^2+bx+c=(x+b/2)^2-b^2/4+c,
\]
e assim a equação $f(x)=0$ é equivalente à equação
\[
(x+b/2)^2=b^2/4-c=\frac{b^2-4c}4;
\]
ou seja
\[
x+b/2=\pm\frac{\sqrt{b^2-4c}}2.
\]
Assim as raízes do polinômio são $x_1$ e $x_2$ onde
\[
x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}2\quad\mbox{e}\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}2.
\]
As duas raízes são frequentemente escritas na forma
\[
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}2.
\]
Quando o polinômio $f(x)\in\F[x]$ está na forma mais geral $f(x)=ax^2+bx+c$ com $a\neq 0$, as raízes de $f(x)$ são as mesmas que as raízes de
\[
x^2+(b/a)x+c/a
\]
que são
\[
\frac{-b/a\pm\sqrt{(b/a)^2-4c/a}}2=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
\]
Vamos achar todos os números inteiros $x\in\Z$ para os quais $2x^2+3x-7\equiv 0\pmod{11}$. A congruência é equivalente à equação quadrática
\[
\overline 2x^2+\overline 3x+\overline 4=\overline 0
\]
sobre $\Z_{11}$. As soluções nesta equação são
\begin{align*}
x_{1,2}&=\frac{-\overline 3\pm\sqrt{\overline 3^2-4\cdot \overline 2\cdot \overline 4}}{\overline 4}\\&=\frac{-\overline 3\pm\sqrt{-\overline {23}}}{\overline 4}\\&=\frac{-\overline 3\pm\sqrt{-\overline 1}}{\overline 4}.
\end{align*}
Como $11\equiv 3\pmod 4$, $-\overline 1$ não é quadrado em $\Z_{11}$; ou seja, $\sqrt{-\overline 1}$ não existe em $\Z_{11}$ e a equação não possui soluções. Portanto não existe $x\in\Z$ tal que $2x^2+3x-7\equiv 0\pmod{11}$.
\[
\overline 2x^2+\overline 3x+\overline 4=\overline 0
\]
sobre $\Z_{11}$. As soluções nesta equação são
\begin{align*}
x_{1,2}&=\frac{-\overline 3\pm\sqrt{\overline 3^2-4\cdot \overline 2\cdot \overline 4}}{\overline 4}\\&=\frac{-\overline 3\pm\sqrt{-\overline {23}}}{\overline 4}\\&=\frac{-\overline 3\pm\sqrt{-\overline 1}}{\overline 4}.
\end{align*}
Como $11\equiv 3\pmod 4$, $-\overline 1$ não é quadrado em $\Z_{11}$; ou seja, $\sqrt{-\overline 1}$ não existe em $\Z_{11}$ e a equação não possui soluções. Portanto não existe $x\in\Z$ tal que $2x^2+3x-7\equiv 0\pmod{11}$.