O Teorema de Divisão para polinômios

Existência: Vamos provar a existência por indução no grau de $f(x)$. Se $f(x)=0$, então pode-se tomar $q(x)=r(x)=0$. Assuma então que $f(x)\neq 0$ e seja $k=\grau{f(x)}$. Se $k=0$, então $f(x)$ é constante; por exemplo $f(x)=\alpha$ onde $\alpha\in\F$. Se $\grau{g(x)}=0$ então $g(x)=\beta$ com $\beta\in \F$ e pode tomar $q(x)=\alpha/\beta$ e $r(x)=0$. Se $\grau{g(x)} > 0$, então podemos tomar $q(x)=0$ e $r(x)=f(x)=\alpha$. É fácil verificar que estas escolhas para $q(x)$ e $r(x)$ satisfazem a equação no teorema.

Assuma agora que $k\geq 0$ e que a afirmação da existência no teorema está válida para polinômios $f(x),g(x)\in\F[x]$ com $g(x)\neq 0$ e $\grau{f(x)} < k$. Seja $f(x)$ um polinômio de grau $k$. Se $\grau{g(x)} > \grau{f(x)}$ então podemos tomar $q(x)=0$ e $r(x)=f(x)$. Assuma então que $\grau{g(x)}\leq \grau{f(x)}$. Assuma que
\begin{align*}
f(x)&=\alpha_k x^k+\mbox{termos de menor grau};\\
g(x)&=\beta_\ell x^\ell+\mbox{termos de menor grau};
\end{align*}
com $\alpha_k,\beta_\ell\in\F\setminus\{0\}$. Considere
\[
f_1(x)=f(x)-(\alpha_k/\beta_\ell)x^{k-\ell}g(x).
\]
Temos que $\grau{f_1(x)} < \grau{f(x)}$ então a hipótese da indução se aplica para $f_1(x)$ e podemos escrever
\[
f_1(x)=q_1(x)g(x)+r(x)
\]
onde
$r(x)=0$ ou $\grau{r(x)} < \grau{g(x)}$. Ora, obtemos que
\begin{align*}
f(x)&=f_1(x)+(\alpha_k/\beta_m)x^{k-\ell}g(x)\\&=q_1(x)g(x)+r(x)+(\alpha_k/\beta_m)x^{k-\ell}g(x)\\&=
(q_1(x)+(\alpha_k/\beta_m)x^{k-\ell})g(x)+r(x).
\end{align*}
Podemos tomar então $q(x)=q_1(x)+(\alpha_k/\beta_m)x^{k-\ell}$ e $r(x)$ como acima.

Unicidade: Assuma que temos para algum $f(x),g(x)\in\F[x]$ com $g(x)\neq 0$ que
\[
f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)
\]
com $r_1(x)=0$ ou $\grau{r_1(x)} < \grau{g(x)}$ e $r_2(x)=0$ ou $\grau{r_2(x)} < \grau{g(x)}$. A equação acima implica que
\[
(q_1(x)-q_2(x))g(x)=r_2(x)-r_1(x).
\]
O lado esquerdo desta equação é um polinômio que ou é igual a zero ou seu grau é maior ou igual a grau de $g(x)$. No lado direito, temos um polinômio que é ou zero ou seu grau é menor que o grau de $g(x)$. Isso é possível apenas quando os polinômios nos dois lados da equação são iguais a zero. Ou seja,
\[
(q_1(x)-q_2(x))g(x)=0.
\]
Como $\F[x]$ é um domínio e $g(x)\neq 0$, temos que $q_1(x)-q_2(x)=0$; ou seja $q_1(x)=q_2(x)$. Denotando $q_1(x)=q_2(x)=q(x)$, obtemos que
\[
f(x)=q(x)g(x)+r_1(x)=q(x)g(x)+r_2(x),
\]
mas isso implica que $r_1(x)=r_2(x)$. Obtivemos assim que a decomposição de $f(x)$ é única.

>>> from sympy import poly, QQ
>>> from sympy.abc import x
>>> f = poly( x**3-2*x**2+x-1, domain = QQ )
>>> g = poly( x**2-1, domain = QQ )
>>> f//g
Poly(x−2,x,domain=ℚ)
>>> f % g 
Poly(2x−3,x,domain=ℚ)
>>> g*(f//g)+f%g  == f
True