Considere uma equação na forma
\begin{equation}
ax^3+bx^2+cx+d=0
\end{equation}
onde $a,b,c,d\in\C$ com $a\neq 0$. Nós vamos determinar as raízes complexas desta equação. O procedimento será apresentado em vários passos.
Passo 1. A equação original tem as mesmas raízes que a equação
\[
x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+d/a=0.
\]
Assim nós consideremos apenas equações na forma
\begin{equation}\label{eq:orig}
x^3+ax^2+bx+c=0\tag{1}.
\end{equation}
Passo 2. Introduza uma nova variável $y=x+a/3$. Substituindo,
\[
0=x^3+ax^2+bx+c=(y-a/3)^3+a(y-a/3)^2+b(y-a/3)+c.
\]
Abrindo as parênteses, obtemos que o coeficiente de $y^2$ na equação anterior é $-3a/3+a=0$ e a equação fica na forma
\begin{equation}\label{eq:pq}
y^3+py+q=0\tag{2}
\end{equation}
onde
\[
p=b-\frac{a^2}3\quad\mbox{e}\quad q=c-\frac{ab}3+\frac{2a^3}{27}.
\]
Se $\alpha\in\C$ é raiz da equação \eqref{eq:pq}, então $\beta=\alpha-a/3$ é raiz da equação (\ref{eq:orig}).
Passo 3. Assuma que $\alpha\in\C$ é raiz da equação \eqref{eq:pq}. Escreva $\alpha=u+v$ com $u,v\in\C$ onde $u$ e $v$ serão determinados mais tarde. Obtem-se que
\begin{align*}
0&=(u+v)^3+p(u+v)+q\\&=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+pu+pv+q\\&=(u^3+v^3+q)+(3uv+p)(u+v).
\end{align*}
Vamos escolher $u,v\in\C$ tais que
\begin{align*}
u^3+v^3&=-q\\
uv&=-p/3
\end{align*}
pois esta escolha garante a igualdade na equação anterior.
O sistema das duas equações para $u$ e $v$ implica que
\begin{align*}
u^3+v^3&=-q\\
u^3v^3&=-p^3/27.
\end{align*}
Assim $u^3$ e $v^3$ são soluções da equação
\[
t^2+qt-p^3/27=0
\]
e obtemos da fórmula quadrática que
\begin{equation}\label{eq:u3}
u^3=\frac{-q\pm \sqrt{q^2+4p^3/27}}2\tag{3}
\end{equation}
Logo
\[
u = \sqrt[3]{\frac{-q\pm \sqrt{q^2+4p^3/27}}2}
\]
e
\[
v = \frac{-p}{3u}.
\]
Agora $\alpha=u+v$ é solução da equação \eqref{eq:pq} e
\[
\beta=\alpha-a/3=u+v-a/3
\]
é solução da equação \eqref{eq:orig}. Observe que na equação \eqref{eq:u3}, temos três escolhas para $u$ que resulta em três soluções para a equação \eqref{eq:orig}.
\[
f(x)=x^3-6x^2+9x-3=0.
\]
Substituímos $y=x-2$, e obtemos que
\[
g(y)=f(y+2)=y^3-3y-1=0.
\]
Assuma que $\alpha=u+v$ é uma raiz da equação $g(y)=0$. Então $u^3$ e $v^3$ são raízes de
\[
t^2-t+1
\]
e assim
\[
u^3=\frac{1+\sqrt{-3}}2=\frac 12+\frac{\sqrt 3}2i=\cos(\pi/3)+i\mbox{sen}(\pi/3).
\]
As três raízes cúbicas de $u^3$ são
\begin{align*}
u_1&=\cos(\pi/9)+i\mbox{sen}(\pi/9)\\
u_2&=\cos(7\pi/9)+i\mbox{sen}(7\pi/9)\\
u_3&=\cos(13\pi/9)+i\mbox{sen}(13\pi/9)\\
\end{align*}
e os valores de $v$ correspondentes são
\begin{align*}
v_1&=u_1^{-1}=\cos(\pi/9)-i\mbox{sen}(\pi/9)\\
v_2&=u_2^{-1}=\cos(7\pi/9)-i\mbox{sen}(7\pi/9)\\
v_3&=u_3^{-1}=\cos(13\pi/9)+i\mbox{sen}(13\pi/9).
\end{align*}
As soluções da equação $g(y)=0$ são obtidos como
\begin{align*}
\alpha_1&=u_1+v_1=2\cos(\pi/9)\\
\alpha_2&=u_2+v_2=2\cos(7\pi/9)\\
\alpha_3&=u_3+v_3=2\cos(13\pi/9).
\end{align*}
As soluções da equação original $f(x)=0$ são
\begin{align*}
\beta_1&=\alpha_1+2=2\cos(\pi/9)+2\\
\beta_2&=\alpha_2+2=2\cos(7\pi/9)+2\\
\beta_3&=\alpha_3+2=2\cos(13\pi/9)+2.
\end{align*}
O procedimento acima poderia ser escrito na forma de uma fórmula cúbica, mas esta fórmula, devido a sua complexidade, não seria útil na prática. Existe um procedimento similar, mas bem mais complicado, para resolver equações do quarto grau e este procedimento também poderia ser escrito como uma fórmula quártica. O vídeo do canal Mathologer inserido no início da página mostra a fórmula geral cúbica. A partir de grau cinco, não existe mais tais fórmulas e este resultado é conhecido como o Teorema de Abel–Ruffini.
Se $k\geq 5$, então não existe fórmula para obter as raízes complexas de um polinômio arbitrário de grau $k$ usando apenas os coeficientes do polinômio, constantes, as operações da adição, subtração, multiplicação, divisão, e tomando $n$-esimas raízes para $n\geq 2$.