Seja $G$ um grupo. Se $x,y\in G$, então o comutador $[x,y]$ de $x,y$ é definido por $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$. Em um grupo $G$, denotamos por $G’$ o subgrupo $G’=\left< [x,y] \mid x,y\in G\right>$ (o subgrupo gerado por comutadores). O subgrupo $G’$ é chamado de subgrupo derivado, ou subgrupo comutador de $G$.

Um subgroupo $H\leq G$ é dito caraterístico, se $H$ é invariente por automorfismos de $G$. Um subgrupo caraterístico é normal.

Lema. Seja $G$ um grupo e sejam $H$, $K$ subgroupos de $G$ tal que $K\leq H\leq G$.

1. Se $K$ é caraterístico em $H$ e $H$ é caraterístico em $G$, então $K$ é caraterístico em $G$.
2. Se $K$ é caraterístico em $H$ e $H$ é normal em $G$, então $K$ é normal em $G$.

Demonstração. Exercício.

Lema. $G’$ é um subgrupo caraterístico de $G$. Em particular, $G’$ é um subgrupo normal. Além disso, $G/G’$ é um grupo abeliano e se $N\unlhd G$ tal que $G/N$ é abeliano, então $G’\leq N$. (Pode-se dizer que $G’$ é o menor subgrupo normal de $G$ com quociente abeliano.)

Demonstração. Exercício.

Podemos definir recursivamente $G”=(G’)’$, $G”’=(G”)’$. Obtemos uma série chamada de série derivada ou série comutador de $G$. Os termos desta série são subgrupos caraterísticos, em particular, eles são normais em $G$. Os termos da série derivada são denotados também por $G=G^{(0)}$, $G’=G^{(1)}$, $G”=G^{(2)}$, etc.

Lema. Seja $G$ um grupo e seja $G_0=G>\cdots> G_k>\cdots$ uma série subnormal tal que $G_i/G_{i+1}$ é abeliano para todo $i$. Então $G^{(i)}\leq G_i$ vale para todo $i\geq 0$.

Demonstração. A afirmação é trivialmente verdadeira para $i=0$. Assuma que $G^{(i)}\leq G_i$. Como $G_i/G_{i+1}$ é abeliano, temos que $G_i’\leq G_{i+1}$. Logo
$$
G^{(i+1)}=(G^{(i)})’\leq G_i’\leq G_{i+1}.
$$
Então a afirmação é verdadeira para $i+1$ e segue por indução que ela é verdadeira para todo $i$.

Corolário. As seguintes são equivalentes para um grupo $G$.

1. Existe uma série normal $G_0=G>\cdots >G_k=1$ com quocientes abelianos.
2. Existe  uma série subnormal $G_0=G>\cdots> G_k=1$ com quocientes abelianos.
3. Existe $k$ tal que $G^{(k)}=1$.

Demonstração. Segue dos resultados anteriores.

Um grupo $G$ é dito solúvel se uma das afirmações do corolário anterior é válida para $G$. O menor $k$ tal que $G^{(k)}=1$ é chamado de comprimento derivado de $G$.

Um grupo abeliano finito é dito grupo abeliano elementar,, se existe um primo $p$, tal que $x^p=1$ para todo $x\in G$. Pelo Teorema Fundamental dos Grupos Finitos Abelianos, temos que $G$ é grupo abeliano elementar se e somente se $G=C_p\times\cdots \times C_p$ com algum primo $p$. Em particular, um grupo abeliano elementar pode ser considerado como um espaço vetorial sobre o corpo $\mathbb F_p$.

Lema. As seguintes afirmações são válidas para um grupo $G$.

1. Se $\varphi:G\rightarrow K$ é um homomorfismo, então
   $$
   \varphi(G^{(i)})=\varphi(G)^{(i)}
   $$
   para todo $i\geq 0$.
2. Se $N\unlhd G$ e $Q=G/N$, então $Q^{(i)}= G^{(i)}N/N$.
3. Se $G$ é solúvel e $H\leq G$, $N\unlhd G$, então $H$ e $G/N$ são solúveis.
4. Se $N\unlhd G$, tal que $N$ e $G/N$ são solúveis, então $G$ é solúvel.
5. Se $G$ é um p-grupo finito, então $G$ é solúvel.
6. Se $G$ é finito, então $G$ é solúvel se e somente se os fatores de composição de $G$ são todos grupos cíclicos de ordem prima.
7. Se $G$ é finito e solúvel e $N$ é um subgrupo minimal normal de $G$, então $N$ é abeliano elementar.

Demonstração. 1. Indução por $i$. Se $i=0$, então não há nada para provar. Assuma que a afirmação é verdadeira para $i\geq 0$.
O subgrupo $G^{(i+1)}$ é gerado por elementos da forma $[x,y]$ onde $x,y\in G^{(i)}$. Como
$$
\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]\in \varphi(G^{(i)})’=(\varphi(G)^{(i)})’=\varphi(G)^{(i+1)},
$$
obtemos que $\varphi(G^{(i+1)})\leq \varphi(G)^{(i+1)}$.
Assuma agora que $[u,v]\in\varphi(G)^{(i+1)}$ com $u,v\in \varphi(G)^{(i)}$. Temos que existem $x,y\in G^{(i)}$ tal que $\varphi(x)=u$ e $\varphi(y)=v$. Logo
$$
[u,v]=\varphi([x,y])\in \varphi(G^{(i+1)})
$$
e $\varphi(G)^{(i+1)}\leq \varphi(G^{(i+1)})$.  Temos equality.

2. Seja $\varphi:G\rightarrow G/N$ o homomorfismo natural. Por parte (1), tem-se que
$$
Q^{(i)}=\varphi(G)^{(i)}=\varphi(G^{(i)})=G^{(i)}N/N.
$$

3. Assuma que $G$ é solúvel e assuma que $G^{(k)}=1$ para algum $k$. Pode-se verificar por indução que $H^{(i)}\leq G^{(i)}$ vale para todo $i\geq 0$. Portanto, $H^{(k)}=1$ e segue que $H$ é solúvel.

Seja agora $N\unlhd G$ e assuma que $Q=G/N$. Por parte (2), temos que $(G/N)^{(k)}= G^{(k)}N/N=1$. Logo $(G/N)^k=1$ e portanto $G/N$ é solúvel.

4. Assuma que $N\unlhd G$ e $G/N$ são solúveis. Seja $Q=G/N$. Existe $m$ tal que $Q^{(m)}=1$. Isto quer dizer que $G^{(m)}\leq N$. Existe $l$ tal que $N^{(l)}=1$. Afirmamos que $G^{(m+l)}=1$. De fato,
$$
G^{(m+l)}=(G^{(m)})^{(l)}\leq N^{(l)}=1.
$$
Logo, $G$ é solúvel.

5. Provaremos por indução por $|G|$. Se $|G|=1$, não há nada para provar. Assuma que $G$ é um $p$-grupo finito de ordem $p^n$ e assuma que $p$-grupos de ordem menor que $p^n$ são solúveis. Como $G$ é um $p$-grupo finito, $Z(G)$ é um subgrupo normal não trivial de $G$. Além disso, $Z(G)$ é abeliano e, pela hipótese de indução, $G/Z(G)$ é solúvel. Portanto, $G$ é solúvel pela afirmação anterior.

6. Claro.

7. Seja $N$ um subgrupo minimal normal de $G$. Como $N’$ é um subgrupo caraterístico em $N$, temos que $N’$ é normal de $G$, que implica, pela minimalidade de $N$, que $N’=1$. Logo $N$ é um grupo abeliano finito. Pelo Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos Finitos, $N=N_{p_1}\times \cdots \times N_{p_k}$ onde $N_{p_i}$ é o $p_i$-subgrupo de Sylow de $N$. Cada $N_{p_i}$ é caraterístico em $N$, e normal em $G$. Pela minimalidade de $N$, temos que $N=N_{p_1}$; isto é, $N$ é um $p$-grupo abeliano. Finalmente, observe que
$$
N^p=\{x^p\mid x\in N\}
$$
é um subgrupo caraterístico em $N$ que implica que $N^p=1$; ou seja $N$ é abeliano elementar.

$\newcommand{\N}{\mathbb N}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$ $\newcommand{\R}{\mathbb R}$ $\newcommand{\dx}{\,dx}$
1. Demonstre que as seguintes são equivalentes para um conjunto $X\subseteq \R$.

1. Para todo $\varepsilon>0$ existe uma cobertura $\{I_i\mid i\in\N\}$ de $X$ formada por intervalos abertos tal que $\sum_ì|I_i|\leq\varepsilon$.
2. Para todo $\varepsilon>0$ existe uma cobertura $\{I_i\mid i\in\N\}$ de $X$ formada por intervalos (não necessariamente abertos) tal que $\sum_ì|I_i|\leq\varepsilon$.

2. Demonstre que o conjunto de Cantor tem medida nula.

3. Seja $f:[a,b]\rightarrow\R$ uma função limitada. Para $x\in[a,b]$ e $\delta>0$, seja $$ \omega(x,\delta)=\sup\{f(x)\mid x\in[x-\delta,x+\delta]\cap[a,b]\}- \inf\{f(x)\mid x\in[x-\delta,x+\delta]\cap[a,b]\}. $$

1. Demonstre que existe $\omega(x)=\lim_{\delta\rightarrow 0}\omega(x,\delta)$.
2. Demonstre que $\omega(x)=0$ se e somente se $f$ é contínua em $x$.

4. Sejam $f,\ g:[a,b]\rightarrow\R$ funções integráveis.

1. Assuma que existe $k>0$ tal que $k\leq|g(x)|$ para todo $x\in[a,b]$. Demonstre que a função $f(x)/g(x)$ é integrável em $[a,b]$. Exiba um exemplo que mostra que a condição que existe um tal $k$ é necessária.
2. Assuma que $f(x)\leq g(x)$ para todo $x\in[a,b]$ e demonstre que $\int_{a}^bf(x)\dx\leq\int_{a}^bg(x)\dx$.
3. Demonstre que $|f(x)|$ é integrável e que $|\int_{a}^bf(x)\dx|\leq\int_{a}^b|f(x)|\dx$.

5. Seja $a>0$ e seja $f:[-a,a]\rightarrow\R$ uma função integrável. Verifique as seguintes afirmações.

1. Se $f$ é ímpar então $\int_{-a}^af(x)\dx=0$.
2. Se $f$ é par então $\int_{-a}^af(x)\dx=2\int_{0}^af(x)\dx$.

6. Seja $f:[a,b]\rightarrow \R$ uma função integrável com $f(x)\geq 0$ para todo $x\in[a,b]$, e assuma que $f$ é continua em um ponto $c\in[a,b]$ tal que $f(c)>0$. Demonstre que $\int_a^bf(x)\dx>0$.

7. Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz: Se $f,\ g:[a,b]\rightarrow\R$ são funções contínuas, então $$ \left(\int_a^b f(x)g(x)\dx\right)^2\leq \left(\int_a^b f(x)^2\dx\right) \left(\int_a^b g(x)^2\dx\right). $$ [Dica: Use o Exercício 6 e consulte um livro de álgebra linear.]

8. Seja $f:[a,\infty)\rightarrow\R$ uma função contínua, monótona não crescente tal que $f(x)>0$ para todo $x\in [a,\infty)$. Mostre que se existir $\int_a^\infty f(x)dx$, então $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$.

9. Calcule, se existir, cada uma das seguintes integrais impróprias:
$$
\int_{0}^\infty \frac{1}{(1+x)\sqrt x}dx,\quad \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^6}dx,\quad \int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt[3]x}dx.
$$

 

$\newcommand{\N}{\mathbb N}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$ $\newcommand{\R}{\mathbb R}$1. Seja $f:X\rightarrow\R$ uma função e seja $a\in X\cap X’$. Mostre que as seguintes são equivalentes:

1. $f(x)$ é derivável em $a$;
2. existe uma função $\eta:X\rightarrow\R$ tal que $f(x)=f(a)+\eta(x)(x-a)$ para todo $x\in X$ e $\eta(x)$ é contínua em $a$.

2. (Regra de L’Hospital) Sejam $f,\ g:X\rightarrow\R$ funções deriváveis em um ponto $a\in X\cap X’$ e assuma que $f(a)=g(a)=0$. Se $g'(a)\neq 0$, então $\lim_{x\rightarrow a}f(x)/g(x)=f'(a)/g'(a)$.

3. Seja $f:\R^+\rightarrow\R$ definida por $f(x)=\sqrt[n]x$ com $n\in\N$. Calcule a derivada de $f$ sem usar que $x\mapsto \sqrt[n]x$ é a inversa de $x\mapsto x^n$.

4. Uma função $f:\R\rightarrow \R$ é dita par se $f(-x)=f(x)$ para todo $x\in \R$; a função $f(x)$ é dita ímpar se $f(-x)=-f(x)$ para todo $x\in \R$. Demonstre que a derivada, se existir, de uma função par é ímpar, e a derivada, se existir, de uma função ímpar é par.

5. Seja $I$ um intervalo e $f:I\rightarrow \R$ uma função derivável (em todo ponto $a\in I)$. Seja $a$ um ponto interior a $I$ tal que $f'(a)=0$ e existe $f”(a)$ tal que $f”(a)\neq 0$. Mostre que $f(x)$ tem mínimo local ou máximo local em $a$. Demonstre por exibir um exemplo que a condição $f”(a)\neq 0$ é necessária para concluir que $f(x)$ tem mínimo local ou máximo local em $a$.

6. Seja $f:[a,b]\rightarrow \R$ uma função derivável em $[a,b]$ com $f'(x)\geq 0$ para todo $x\in [a,b]$ e assuma que $f'(x)=0$ vale somente para um número finito de $x\in[a,b]$. Demonstre que $f$ é crescente.

7. Seja $f:[a,b]\rightarrow\R$ uma função derivável em $[a,b]$ tal que $|f'(x)|\leq k$ para todo $x\in [a,b]$. Mostre que a função $f$ é lipschitziana; ou seja $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|$ para todo $x,\ y\in[a,b]$.

8. Seja $f:\R\rightarrow\R$ uma função e defina $$ M=\{a\in\R\mid f(x)\mbox{ possui mínimo ou máximo local estrito em $a$}\}. $$ Demonstre que $M$ é enuverável.

Nos seguintes exercícios $I$ e $J$ denotam intervalos.

9. Para $n≥0$, defina a função $f_n:\R\rightarrow\R$ como $f_n(x)=x^n|x|$. Demonstre que $f_n(x)$ é $n$ vezes derivável, mas não é $n+1$ vezes derirvável.

10. Seja $I$ aberto e $g:I\rightarrow\R$ contínua em $I$ exceto no ponto $a\in I$. Assuma também que existem os limites laterais $\lim_{x\rightarrow a+}g(x)=A$ e $\lim_{x\rightarrow a-}g(x)=B$ e que $A\neq B$. Demonstre que não existe uma função $f:I\rightarrow\R$ tal que $f'(x)=g(x)$.

11. Seja $f:\R\rightarrow\R$ a função definida por $f(x)=x^5/(1+x^6)$. Calcule $f^{(2001)}(0)$.

12. Seja $f:I\rightarrow\R$ de classe $C^\infty$. Suponha que existe $K>0$ tal que $|f^{(n)}(x)|\leq K$ para todo $x\in I$ e $n\geq 0$. Demonstre que $$ f(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i $$ para todo $x,\ x_0\in I$.

$\newcommand{\N}{\mathbb N}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$ $\newcommand{\R}{\mathbb R}$

1. Considere as seguintes funções. Determine para cada função $f$ os pontos do seu domínio nos quais $f$ é contínua.

1. $f:\R\rightarrow \R$, $f(x)=x^k$ onde $k\in\N$;
2. $f:\{x\in \R\mid x\geq 0\}\rightarrow \R$, $f(x)=x^{1/2}$;
3. $f:\R\rightarrow \R$, $f(x)=\lfloor x\rfloor$ onde $\lfloor x \rfloor$ é o maior inteiro que não é maior que $x$;
4. $f:\R\rightarrow \R$, $f(x)=x-\lfloor x \rfloor$;
5. $f:]0,1[\rightarrow \R$, $f(x)=1/x$.

2. Determine quais das funções no Exercício 1 são uniformemente contínuas. Para cada $f$ que não é uniformemente contínua, ache um par $(a_n)$, $(b_n)$ de sequências tal que $a_n,\ b_n$ são elementos do domínio de $f$, $a_n-b_n\rightarrow 0$, mas $f(a_n)-f(b_n)\not\rightarrow 0$.

3. Seja $f:\R\rightarrow\R$ uma função. Demonstre que as seguintes afirmações são equivalentes:

1. $f$ é contínua;
2. para todo conjunto $X\subseteq \R$ aberto, $f^{-1}(X)$ é aberto;
3. para todo conjunto $X\subseteq \R$ fechado, $f^{-1}(X)$ é fechado.

4. Seja $I$ um intervalo e seja $f:I\rightarrow\R$ uma função monótona tal que $f(I)$ é um intervalo. Demonstre que $f$ é contínua.

5. Seja $f:[0,1]\rightarrow \R$ contínua tal que $f(0)=f(1)$. Demonstre que existe $x\in[0,1/2]$ tal que $f(x)=f(x+1/2)$.

6. Uma função $f:X\rightarrow\R$ é dita lipschitziana se existe uma constante $k >0$ tal que $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|$ para todo $x,\ y\in X$. Demonstre que uma função lipschitziana é uniformemente contínua, mas existem funções uniformemente contínuas que não são lipschitzianas.

7. Sejam $f,g:X\subseteq\R\rightarrow\R$ duas funções uniformemente contínuas. Demonstre as seguintes afirmações:

1. $f(x)+g(x)$ é uniformemente contínua;
2. se $f(x)$ e $g(x)$ são limitadas, então $f(x)g(x)$ é uniformemente contínua;
3. $x\mapsto\min\{f(x),g(x)\}$ e $x\mapsto\max\{f(x),g(x)\}$ são uniformemente contínuas.
4. dê exemplo para mostrar que a condição que $f(x)$ e $g(x)$ são limitadas é necessária em item 2.

Seja $f:[a,\infty]\rightarrow\R$ uma função. Dizemos que $f(x)$ possui limite em $\infty$ se existir $L\in\R$ tal que para todo $\varepsilon>0$ existe $A\geq a$ tal que $|f(x)-L|\leq\varepsilon$ sempre que $x\geq A$. Neste caso escreve-se que $\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)=L$. O limite de uma função em $-\infty$ pode ser definida analogamente.

8. Seja $f:\R\rightarrow\R$ uma função contínua tal que existem os limites $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)$ e $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$. Mostre que $f(x)$ é uniformemente contínua.

$\newcommand{\N}{\mathbb N}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$ $\newcommand{\R}{\mathbb R}$

O polinômio de Taylor

Seja $I$ um invtervalo, assuma que $f:I\rightarrow \R$ é uma função derivável em $I$ e seja $a\in I$. Denote por $f'(x)$ a derivada no ponto $x\in I$. Se a função $f’:I\rightarrow \R$ é derivável em $a$, então dizemos que $f$ é duas vezes derivável em $a\in I$. A valor $(f’)'(a)$ será denotado por $f”(a)$ ou por $f^{(2)}(a)$. Similarmente, se existe $f”(x)$ para todo $x\in I$ e $f”(x)$ é derivável em $a$, então definimos $f”'(a)=f^{(3)}(a)=(f”)'(a)$. Assim por adiante, definimos $f^{(n)}=(f^{n-1})'(a)$ se existir. Neste caso dizemos que $f(x)$ é $n$ vezes derivável no ponto $a$. Note que para $f^{(n)}(a)$ existir, não é suficiente que $f^{(n-1)}(a)$ exista; precisamos que exista $f^{(n-1)}(x)$ para todo $x$ em uma vizinhança de $a$. Se $f(x)$ é uma função contínua, então frequentamente escrevermos $f^{(0)}(x)=f(x)$.

Para um intervalo $I$, definimos
$$
C^n(I)=\{f:I\rightarrow\R\mid \mbox{existe $f^{(n)}(x)$ para todo $x\in I$ e $f^{(n)}(x)$ é contínua em $I$}\}$$
e
$$
C^\infty(I)=\bigcap_{n\geq 0} C^{(n)}(I).
$$
Quando não tiver perigo de confusão, escrevemos $C^n$ e $C^\infty$ em vez de $C^n(I)$ e $C^\infty(I)$, respetivamente. Se $f\in C^n$, então dizemos que f é de classe $C^n$. O símbolo $C^0(I)=C^0$ denote a classe de funções contínuas $f:I\rightarrow\R$.

Seja $f:I\rightarrow \R$ tal que $f(x)$ é $n$ vezes derivável em $a\in I$. O polinômio de Taylor de ordem $n$ da função $f$ no ponto $a$ é o polinômio: $$ p(h)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}h+\frac{f”(a)}{2!}h^2+\cdots+\frac{f^n(a)}{n!}h^n=\sum_{ì=0}^n\frac{f^{(i)}}{i!}h^i. $$

Lemma. $p(h)$ é o único polinômio de grau menor ou igual a $n$ tal que $p^{(i)}(0)=f^{(i)}(a)$ para todo $i=0,\ldots,n$.

Demonstração. Calculemos primeiro a $i$-ésimo derivádo de um monômio: $$ (h^k)^{(i)}=\left\{ \begin{array}{ll} k(k-1)\cdots (k-i+1)h^{(k-i)} & \mbox {se $i\leq k$;}\\ 0 & \mbox{se $i> k$}. \end{array}\right. $$ Assim, $$ p^{(i)}(0)=i(i-1)\cdots 1 \frac{f^{(i)}(a)}{i!}h^{i-i}=f^{(i)}(a) \quad\mbox{para todo}\quad i=0,\ldots,n. $$ Provaremos agora a unicidade de $p(h)$. Seja $q(h)$ um polinômio tal que $q^{(i)}(0)=f^{(i)}(a)$ para todo $i=0,\ldots,n$. Assuma que $$ q(h)=\beta_0+\beta_1 h+\beta_2 h^2+\cdots+\beta_n h^n. $$ Pela formula acima, $$ f^{(i)}(a)=q^{(i)}(0)=i(i-1)\cdots 1\beta_i, $$ que implica que $\beta_i=f^{(i)}(a)/i!$ para todo $i=0,\ldots,n$. Portanto os coeficientes de $q(h)$ são iguais aos coeficientes de $p(h)$ e $q(h)=p(h)$.

A fórmula de Taylor

Precisaremos do seguinte lema.

Lemma. Seja $J$ um intervalo tal que $0\in J$ e $r:J\rightarrow \R$ uma função $n$ vezes derivável no ponto $a=0$. Então as seguintes afirmações são equivalentes.

1. $r(0)=r'(0)=\cdots=r^{(n)}(0)=0$;
2. $\lim_{h\rightarrow 0}r(h)/h^n=0$.

Demonstração. Provaremos primeiro por indução em $n$ que afirmação (1) implica (2). Seja $n=1$; usando que $r$ é contínua, obtemos que $$ 0=r'(0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{r(h)-r(0)}{h-0}= \lim_{h\rightarrow 0}r(h)/h. $$ Assuma agora que a afirmação está provada para $n-1$. Para provar a afirmação para $n$, assuma que $r:J\rightarrow\R$ é uma função tal que (1) está válida. Aplicando a hipótese de indução para $r’:J\rightarrow\R$, obtemos que $\lim_{h\rightarrow 0}r'(h)/h^{n-1}=0$. Seja $h\in J\setminus\{0\}$. Pelo Teoréma do Valor Médio, existe $c_h\in[0,h]$ (ou $c_h\in [h,0]$ se $h$ for negativo), tal que $r'(c_h)=(r(h)-r(0))/(h-0)=r(h)/h$. Logo $$ \frac{r(h)}{h^n}=\frac{r(h)}h\frac{1}{h^{n-1}}= \frac{r'(c_h)}{h^{n-1}}, $$ e portanto $$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{r(h)}{h^n}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{r'(c_h)}{h^{n-1}}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{r'(c_h)}{c_h^{n-1}}\frac{c_h^{n-1}}{h^{n-1}}= 0 $$ pois $|c_h^{n-1}/h^{n-1}|\leq 1$.

Provaremos agora por indução em $n$ que afirmação (2) implica afirmação (1). Seja $n=1$. Neste caso sabe-se que $\lim_{h\rightarrow 0}r(h)=\lim_{h\rightarrow 0}hr(h)/h=0$. Por continuidade, $r(0)=0$. Similarmente, $r'(0)=\lim_{h\rightarrow 0}r(h)/h=0$.

Assuma agora que a afirmação (2) implica a afirmação (1) para $n-1$. Seja $r:J\rightarrow\R$ uma função $n$ vezes derivável tal que $\lim_{h\rightarrow 0}r(h)/h^n=0$. Defina $\varphi:J\rightarrow\R$, pela regra $$ \varphi(x)=r(x)-\frac{r^{(n)}(0)}{n!}x^n. $$ A função $\varphi$ é $n$ vezes derivável em $0$. Além disso, verifica-se que $\varphi^{(i)}(0)=r^{(i)}(0)$ para todo $i=1,\ldots,n-1$. Além disso
\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\varphi(h)}{h^{n-1}}&=& \lim_{h\rightarrow 0}\frac{r(h)}{h^{n-1}}- \lim_{h\rightarrow 0}\frac{r^{(n)}(0)h^{n}}{n!h^{n-1}}\\&=& \lim_{h\rightarrow 0}\frac{r(h)}{h^{n-1}}-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{r^{(n)}(0)h}{n!}\\&=&\lim_{h\rightarrow 0}h\frac{r(h)}{h^{n}}=0.
\end{eqnarray*}
Obtemos pela hipótese de indução que $\varphi(0)=\varphi'(0)=\cdots=\varphi^{(n-1)}(0)=0$. Pela observação acima, isso implica que $r(0)=r'(0)=\cdots=r^{(n-1)}(0)=0$. Então só temos de mostrar que $r^{(n)}(0)=0$. Ora, uma conta direta mostra que $$ \varphi^{(n)}(0)=r^{(n)}(0)-r^{(n)}(0)=0. $$ Portanto, a função $\varphi(x)$ satisfaz a condição (1) do lema, e já provamos que condição (1) implica (2). Logo $\lim_{h\rightarrow 0}\varphi(h)/h^{n}=0$. Portanto
\begin{eqnarray*}
0&=&\lim_{h\rightarrow 0}\varphi(h)/h^n=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{r(h)-r^{(n)}(0)h^n/n!}{h^n}\\&=& \lim_{h\rightarrow 0}\frac{r(h)}{h^n}-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{r^{(n)}(0)}{n!}=-\frac{r^{(n)}(0)}{n!}.
\end{eqnarray*}
Isso implica que $r^{(n)}(0)=0$ que queríamos mostrar.

Teorema (Fórmula de Taylor Infinitesimal) Assuma que $f:I\rightarrow\R$ uma função definida em um intervalo $I$ e que $f(x)$ é $n$ vezes derivável em $a\in I$. Se $h\in\R$ tal que $a+h\in I$, então
\begin{eqnarray*}
f(a+h)&=&f(a)+f'(a)h+\frac{f”(a)}{2}h^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+ r(h)\\&=&\sum_{ì=0}^n \frac{f^{(i)}(a)}{i!}h^i+r(h)
\end{eqnarray*}
onde $r(h)$ é uma função definida em um intervalo $J$ tal que $0\in J$ e $\lim_{h\rightarrow 0}r(h)/h^n=0$.

Além disso, $p(h)=\sum_{ì=0}^n \frac{f^{(i)}(a)}{i!}h^i$ é o único polinômio de grau menor ou igual a $n$ tal que $\lim_{h\rightarrow 0}(f(a+h)-p(h))/h^n=0$.

Demonstração. Calculemos a $i$-ésima derivada de $r(h)$ para $i=0,\ldots,n$: $$ r^{(i)}(0)=f^{(i)}(a+0)-f^{(i)}(a)=0. $$ Logo $\lim_{h\rightarrow 0}r(h)/h^n=0$, como foi afirmado.

A unicidade de $p(h)$: O polinômio $p(h)$ satisfaz $p^{(i)}(0)=f^{(i)}(a)$ para todo $i=0,\ldots,n$. Pelo primeiro lema da página, $p(h)$ é único.

Observação: Por substituição de variável $b=a+h$ (e $h=b-a$), a Fórmula de Taylor é frequentamente escrita como $$ f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\frac{f”(a)}{2}(b-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^n+ r(b-a)= $$ $$ \sum_{ì=0}^n \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(b-a)^i+r(b-a). $$

Exemplo. A fórmula de Taylor quer dizer que funções deriváveis podem ser aproximadas por funções polinomiais. A condição que $\lim_{h\rightarrow 0}r(h)/h^n=0$ significa que “$r(h)$ converge rapidamente a 0 enquanto $h$ converge a $0$”. Considere a função $f(x)=\sqrt x$ no intervalo $I=]0,\infty[$ e seja $a=1$. Aproximaremos a função $f(x)$ em uma vizinhança de $a$ por um polinômio de grau $2$. Calculemos que $$ f(1)=1,\quad f'(1)=\frac 12,\quad f”(x)=-\frac 14. $$ Logo a fórmula de Taylor diz, para $0<b$, que $$ f(b)=1+\frac 12(b-1)-\frac 18(b-1)^2+r(b-1) $$ onde a função $r(h)$ é “pequena” para valores $b$ na proximidade de $1$. Portanto na proximidade do ponto $a=1$, a função $f(x)=\sqrt x$ está próxima à função polinomial $p(b)=1+1/2(b-1)-1/8(b-1)^2$. De fato, é fácil verificar por WolframAlpha que as curvas das duas funções são muito próximas na proximidade do ponto $a=1$. Para experimentar, cole a instrução Plot[{x^(1/2), 1+1/2(x-1)-1/8*(x-1)^2}, {x, 1/2, 3/2}] no espaço em baixo. Vai ver que as curvas das duas funções estão de fato muito próximas.

Teorema (Fórmula de Taylor com resto de Lagrange). Seja $f\in C^{n}([a,b])$ tal que existe $f^{(n+1)}(x)$ em $(a,b)$. Então existe $c\in(a,b)$ tal que
$$
f(b)=\sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(b-a)^i+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}.
$$

Demonstração. Defina $\varphi:[a,b]\rightarrow\R$ com
$$
\varphi(x)=f(b)-\sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(b-a)^i-\frac{K(b-x)^{n+1}}{(n+1)!}
$$
onde $K\in\R$ é escolhido tal que $\varphi(a)=0$. Então $\varphi$ é contínua em $[a,b]$ e é diferenciável em $(a,b)$ com $\varphi(a)=\varphi(b)=0$. Além disso
$$
\varphi'(x)=\frac{K-f^{(n+1)}(x)}{n!}(b-x)^{n}.
$$
Pelo Teorema de Rolle, existe $c\in(a,b)$ tal que $\varphi'(c)=0$. Isto significa que $K=f^{(n+1)}(c)$. Agora faça a substituição $x=a$.

$\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\A}{\mathcal A}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$Teorema (Darboux). Assuma que $f:[a,b]\rightarrow\R$ é uma função derivável e $d\in\R$ tal que $f'(a)<d<f'(b)$. Então existe $c\in(a,b)$ tal que $f'(c)=d$.

Demonstração. Assuma primeiro que $d=0$. A função $f$ é contínua e atinge seu valor mínimo em um ponto $c\in[a,b]$. Como $f'(a)<0$ e $f'(b)>0$, temos que $c\neq a$ e $c\neq b$. Logo $c\in(a,b)$. Neste caso um teorema anterior implica que $f'(c)=0$.

Assuma agora que $d\neq 0$. Neste caso considere a função $g:[a,b]\rightarrow\R$, $g(x)=f(x)-dx$. Temos que $g(x)$ é derivável e que $g'(x)=f'(x)-d$, então $g(x)$ satisfaz, $g'(a)<0<g'(b)$. Pelo argumento no parágrafo anterior, existe $c\in (a,b)$ tal que  $g'(c)=0$ que implica que $f'(c)=d$.

Teorema (Rolle). Seja $f:[a,b]\rightarrow\R$ uma função contínua. Se $f(x)$ for derivável em $(a,b)$ e $f(a)=f(b)$, então existe $c\in(a,b)$ tal que $f'(c)=0$.

Demonstração. Por um teorema anterior, $f(x)$ atinge seu mínimo $m$ e máximo $M$ em $[a,b]$. Um destes pontos precisa ser diferente de $a$ ou $b$, pois no caso contrário $f(x)$ seria constante, e neste caso $f'(c)=0$ vale para todo $c\in(a,b)$. Se, digamos, $m\in(a,b)$, então $f'(c)=0$.

Teorema (Teorema do Valor Médio de Lagrange). Seja $f:[a,b]\rightarrow\R$ uma função contínua e derivável em $(a,b)$. Existe $c\in(a,b)$ tal que $f'(c)=(f(a)-f(b))/(a-b)$.

Demonstração. Defina $g:[a,b]\rightarrow\R$ pondo $g(x)=f(x)-dx$ onde $d=(f(a)-f(b))/(a-b)$. Note que $g(a)=g(b)$. Pelo Teorema de Rolle, existe $c\in(a,b)$ tal que $g'(c)=0$. Logo $f'(c)=d=(f(a)-f(b))/(a-b)$,

Corolário. Seja $f:I\rightarrow \R$ uma função contínua e derivável para todo ponto interno $a$ de $I$. Se $f'(x)=0$ para todo ponto interno $x\in I$, então $f(x)$ é constante.

Demonstração. Dados $x,y\in I$, existe $c\in(x,y)$ tal que $0=f'(c)=(f(x)-f(y))/(x-y)$. Portanto $f(x)=f(y)$.

$\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\A}{\mathcal A}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$Seja $f:X\subseteq\R\rightarrow\R$ uma função e seja $a\in X\cap X’$. Diz-se que $f(x)$ é derivável no ponto $a$ se existe
$$
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h.
$$
Neste caso o limite é chamado de derivado de $f(x)$ no ponto $a$ e é denotado por $f'(a)$. Se $f(x)$ é derivável em todos os pontos $a\in X$, então a função $f(x)$ é dito derivável. Neste caso, pode-se definir uma nova função $f’:X\rightarrow\R$ com a regra $a\mapsto f'(a)$. A função $f'(x)$ é chamada a função derivada de $f$.

Lema. Se $f:X\rightarrow\R$ é derivável em um ponto $a\in X\cap X’$, então $f$ é contínua neste ponto.

Demonstração. Assuma que $f(x)$ é derivável no ponto $a$. Isto implica que
$$
\lim_{x\rightarrow a}(f(x)-f(a))=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)=f'(a)\lim_{x\rightarrow a}(x-a)=0.
$$
Portanto $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ que implica que $f(x)$ é contínua em $a$.

Similarmente à derivada, pode-se definir as derivadas laterais de $f:X\subseteq\R\rightarrow\R$. Assuma que $a\in X\cap X’_+$. Se existir o limite
$$
\lim_{x\rightarrow a+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
$$
ele é dito derivada lateral à direita de $f(x)$ no ponto $a$. A derivada lateral à esquerda pode ser definida analogamente.

Teorema. Sejam $f,g:X\subseteq\R\rightarrow\R$ funções deriváveis no ponto $a\in X\cap X’$. As seguintes são válidas

1. $f(x)+g(x)$ é derivável no ponto $a$ e $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$.
2. $\alpha f(x)$ é derivável no ponto $a$ e $(\alpha f)'(a)=\alpha f'(a)$.
3. $f(x)g(x)$ é derivável no ponto $a$ e $(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$.
4. Se $g(x)\neq 0$ para todo $x\in X$, então $1/g(x)$ é derivável no ponto $a$ e $(1/g)'(a)=-g'(a)/g(a)^2$.

Demonstração. Demonstraremos apenas a afirmação 3. Considere
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}&=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}\\&=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)g(x)-f(a)g(x)+f(a)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}\\&=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)(f(x)-f(a))+f(a)(g(x)-g(a))}{x-a}\\&=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)(f(x)-f(a))}{x-1}+\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(a)(g(x)-g(a))}{x-a}\\&=&g(a)f'(a)+f(a)g'(a).
\end{eqnarray*}

Teorema. Sejam $f:X\rightarrow Y$ e $g:Y\rightarrow\R$ funções e assuma que $a\in X\cap X’$ e $b=f(a)\in Y\cap Y’$. Se $f$ é derivável no ponto $a$ e $g$  é derivável no ponto $b$, então $g\circ f$ é derivável no ponto $a$ e $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)$.

Demonstração. Seja $(x_n)$ uma sequência com $x_n\in X\setminus\{a\}$ e $x_n\rightarrow a$. Ponha $y_n=f(x_n)$. Sejam
$$
N_1=\{n\in\N^+\mid f(x_n)\neq f(a)\}
$$
e
$$
N_2=\{n\in\N^+\mid f(x_n)=f(a)\}.
$$
Se $n\in N_1$, então
$$
\frac{g(f(x_n))-g(f(a))}{x_n-a}=\frac{g(y_n)-g(b)}{y_n-b}\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}.
$$
Portanto, se $N_1$ é infinito, então
$$
\lim_{n\in N_1,n\rightarrow\infty}\frac{g(f(x_n))-g(f(a))}{x_n-a}=g'(b)f'(a).
$$
Similarmente, se $N_2$ é infinito, então $f'(a)=0$, e
$$
\lim_{n\in N_2,n\rightarrow\infty} \frac{g(f(x_n))-g(f(a))}{x_n-a}=0=g'(f(a))f'(a)
$$
Portanto, em qualquer hipótese vale que
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{g(f(x_n))-g(f(a))}{x-a}=g'(b)f'(a).
$$.
Como a sequência $(x_n)$ foi escolhido arbitrariamente,
$$
\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}=g'(b)f'(a).
$$

Corolário. Seja $f:X\rightarrow Y$ uma bijeção com inversa $g:Y\rightarrow X$. Assuma que $f(x)$ é derivável em $a\in X\cap X’$ e $g(y)$ é contínua em $b=f(a)$. Então $g$ é derivável no ponto $b$ se e somente se $f'(a)\neq 0$. Neste caso $g'(b)=1/f'(a)$.

Demonstração. Verifiquemos primeiro que $b\in Y\cap Y’$. Claramente, $f(a)=b\in Y$. Como $x\in X’$, existe uma sequência $(x_n)$ tal que $x_n\in X\setminus\{a\}$ e $x_n\rightarrow a$. Como $f$ é injetiva e contínua no ponto $a$, temos que $f(x_n)\neq f(a)=b$ e que $f(x_n)\rightarrow b$. Portanto $b\in Y’$.

Assuma que $g$ é derivável no ponto $b$. Neste caso $g\circ f=\mbox{id}_X$, e então $(g\circ f)'(a)=1$. Por outro lado, a regra da cadeia nos fornece,
$$
1=(g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a).
$$
Portanto, $g'(b)=g'(f(a))=1/f'(a)$.
Reciprocamente, assuma que $f'(a)\neq 0$. Seja $y_n\in Y\setminus\{b\}$ uma sequência de pontos tal que  $y_n\rightarrow b$. Como $g$ é contínua em $b$, obtemos que $x_n\rightarrow g(b)=a$ onde $x_n=g(y_n)$. Portanto,
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{g(y_n)-g(b)}{y_n-b}&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{y_n-b}{g(y_n)-g(b)}\right)^{-1}\\&=&
\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{y_n-b}{g(y_n)-g(b)}\right)^{-1}\\&=&
\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}\right)^{-1}=1/f'(a).
\end{eqnarray*}
Logo existe $g'(b)$ e é igual a $1/f'(a)$.

Teorema. Seja $f:X\rightarrow\R$ uma função derivável no ponto $a\in X\cap X’_+$ com $f’_+(a)>0$. Então existe $\delta>0$ tal que se $x\in(a,a+\delta)$, então $f(a)<f(x)$.

Demonstração. Temos
$$
\lim_{x\rightarrow a+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f’_+(a)>0.
$$
Usando a definição de limite com $\varepsilon =f’_+(a)/2$, obtemos que existe $\delta>0$ tal que $(f(x)-f(a))(x-a)>0$ se $x\in(a,a+\delta)$. Se $x$ é tal número real, então $x-a>0$ e segue que $f(x)-f(a)>0$; ou seja $f(x)>f(a)$.

Pode-se demonstrar analogamente o seguinte teorema.

Teorema. Seja $f:X\rightarrow\R$ uma função derivável no ponto $a\in X\cap X’_-$ com$ f’_-(a)>0$. Então existe $\delta>0$ tal que se $x\in(a-\delta,a)$, então $f(x)<f(a)$.

Corolário. Se $f:X\rightarrow\R$ é uma função monótona e não crescente [não decrescente], então  as suas derivadas laterais (onde existem) são não positivos [não negativos].

Corolário. Seja $f:X\rightarrow\R$ e $a\in X\cap X’_+\cap X’_-$. Se $f'(a)>0$, então existe $\delta>0$ tal que tal que se $a-\delta<x<a<y<a+\delta$, então $f(x)< f(a)<f(y)$.

Corolário.  Seja $f:X\rightarrow\R$ e $a\in X\cap X’_+\cap X’_-$ tal que $f(x)$ é derivável em $a$.  Se $f(x)$ possui um máximo (ou mínimo) local em $a$, então $f'(a)=0$.

 

 

$\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\A}{\mathcal A}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$
Lema.Seja $X\subseteq\R$ um conjunto compacto e seja $f:X\rightarrow\R$ uma função contínua. Então $f(X)$ é compacto.

Demonstração. Seja $(y_n)$ uma sequência em $f(X)$. Então existe uma sequência $(x_n)$ em $X$ tal que $y_n=f(x_n)$.  Como $X$ é compacto, $(x_n)$ possui uma subsequência $(x_{k_n})$ convergente. tal que $x_{k_n}\rightarrow a$ com $a\in X$. Como $f(x)$ é contínua, $y_{k_n}=f(x_{k_n})\rightarrow f(a)$. Acabamos de demonstrar que toda sequência $(y_n)$ de termos em $f(X)$ possui uma subsequência convergente com limite em $f(X)$. Portanto $f(X)$ é compacto.

Corolário. Sejam $X$ é um conjunto compacto e $f:X\rightarrow\R$ uma função contínua. Então $\inf f(X)$ e $\sup f(X)$ pertencem a $f(X)$. Portante existem $a,b\in X$ tal que $f(a)\leq f(x)\leq f(b)$ vale para todo $x\in X$.

Teorema. Seja $X$ um conjunto compacto e $f:X\rightarrow\R$ uma função contínua e injetiva. Então $f^{-1}:f(X)\rightarrow X$ é uma função contínua.

Demonstração. Seja $Y=f(X)$, e seja $g:Y\rightarrow X$ a inversa de $f$. Assuma que $b\in Y$. Assuma que $(y_n)$ é uma sequência de termos em $Y$ tal que $y_n\rightarrow b$. Defina $x_n=g(y_n)$. Então $(x_n)$ é uma sequência de termos em $X$. Como a sequência $x_n$ é limitada, é suficiente provar que $a=g(b)$ é o único valor de aderência de $(x_n)$. Assuma que $(x_{k_n})$ é uma subsequência de $(x_n)$ tal que $x_{k_n}\rightarrow a’$. Como $X$ é compacto, $a’\in X$.  Dado que $f(x)$ é contínua,  $$
f(a’)=\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{k_n})=\lim_{n\rightarrow\infty}y_{k_n}=b=f(a).
$$
Isto implica que $f(a’)=f(a)$. Como $f$ é contínua, obtemos que $a’=a$.

Exemplo. Seja $f:[0,1]\cup (2,3]\rightarrow [0,1]\cup(1,2]$ a função definida por
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x & \mbox{se $x \in [0,1]$}\\
x-1 & \mbox{se $x\in (2,3]$}.\end{array}\right.
$$
Então $f$ é contínua, mas $f^{-1}$ não é.

Uma função $f:X\subseteq\R\rightarrow\R$ é dita uniformemente contínua se para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|x-y|\leq \delta$ implica que $|f(x)-f(y)|\leq \varepsilon$ para todo $x,y\in X$.

Exemplo. Seja $f:[a,b]\rightarrow\R$, $f(x)=x^2$. Seja $\varepsilon>0$. Assuma que $M>0$ é um real tal que $[a,b]\subseteq [-M,M]$ e seja $\delta\leq\varepsilon/(2M)$. Sejam $x,y\in[a,b]$ tal que $|x-y|\leq\delta$.  Então
$$
|f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=|x-y||x+y|\leq 2M|x-y|\leq 2M\delta\leq\varepsilon.
$$

Exemplo. Seja $f:\R\rightarrow\R$, $f(x)=x^2$. Assuma que $\varepsilon=1$. Seja $\delta>0$ arbitrário e assuma $n\in \N^+$ tal que $n>1/(2\delta)$. Pondo $x=n$ e $y=n+\delta$, calculemos que
$$
|f(x)-f(y)|=(n+\delta)^2-n^2=2n\delta+\delta^2>2n\delta>1.
$$
Logo esta função não é uniformemente contínua.

Exemplo. Seja $f:(0,1]\rightarrow\R$, $f(x)=1/n$. Seja $\varepsilon=1/2$. Assuma que $\delta>0$ arbitrário e seja $n\in \N^+$ tal que $1/n-1/(n+1)\leq\delta$. Pondo $x=1/n$ e $y=1/(n+1)$, obtemos que
$$
|f(x)-f(y)|=1>\varepsilon.
$$
Portanto esta função também não é uniformemente contínua.

Teorema. Seja $f:X\subseteq\R\rightarrow\R$ uma função. As seguintes são equivalentes:

1. $f(x)$ é uniformemente contínua em $X$;
2. se $(x_n)$ ´e $(y_n)$ são sequências em termos em $X$ tais que $(x_n-y_n)\rightarrow 0$, então $(f(x_n)-f(y_n))\rightarrow 0$.

Demonstração. 1.$\Rightarrow$2. Assuma que $f(x)$ é uniformemente contínua e que $(x_n)$ e $(y_n)$ são sequências de termos em $X$ tais que $(x_n-y_n)\rightarrow 0$. Seja $\varepsilon>0$. Existe $\delta>0$ tal que $|x-y|\leq\delta$ implica $|f(x)-f(y)|\leq\varepsilon$. Existe ainda $n\in \N^+$ tal que se $n\geq N$, então $|x_n-y_n|\leq\delta$. Isto quer dizer que se $n\geq N$, então  $|x_n-y_n|\leq\delta$, e consequentemente $|f(x_n)-f(y_n)|\leq\varepsilon$. Logo $(f(x_n)-f(y_n))\rightarrow 0$.

2.$\Rightarrow$1. Assuma que vale a afirmação 2. Assuma ainda que $f(x)$ não é uniformemente contínua em $X$. Existe $\varepsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ existem $x,y\in X$ com $|x-y|\leq\delta$, mas $|f(x)-f(y)|>\varepsilon$. Seja $n\in\N^+$ e ponha $\delta=1/n$. Então existem $x_n,y_n$ tal que $|x_n-y_n|\leq \delta$ mas $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$. Consideranto $(x_n)$ e $(y_n)$ como sequências, elas não satisfazem a afirmação 2,, que é uma contradição.

Teorema. Se $X$ é um conjunto compacto e $f:X\rightarrow\R$ é uma função  contínua, então $f$ é uniformemente contínua em $X$.

Demonstração. Assuma que $f(x)$ não é uniformemente contínua. Seja $\varepsilon>0$ um número real que não satisfaz a definição de continuidade uniforme. Seja $n\in\N^+$. Existem $x_n,y_n\in X$ tal que $|x_n-y_n|\leq 1/n$ mas $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$. Então $(x_n-y_n)\rightarrow 0.$ Como $X$ é compacto, existe uma subsequência $(x_{k_n})$ convergente com limite $a\in X$. Como $(x_{k_n}-y_{k_n})\rightarrow 0$, obtemos que $y_{k_n}\rightarrow a$. Logo
$$
f(x_{k_n})-f(y_{k_n})\rightarrow f(a)-f(a)=0
$$
que contradiz ao fato que $|f(x_{k_n})-f(y_{k_n})|>\varepsilon$.

Teorema. Se $X$ é compacto e $f:X\rightarrow\R$ é uma função uniformemente contínua, então existe $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ para todo $a\in X’$.

Demonstração. Seja $a\in X’$ e seja $(x_n)$ uma sequência de termos em $X$ tal que $x_n\rightarrow a$. Seja $\varepsilon>0$. Existe $\delta>0$ tal que $|x-y|\leq\delta$ implica que $|f(x)-f(y)|\leq \varepsilon$ para todo $x,y\in X$. Existe também $N\in \N^+$ tal que $|x_n-x_m|\leq\delta$ se $n,m\geq N$. Assuma que $n\geq N$. Então $|x_n-x_m|\leq\delta$ se $n,m\geq N$ e portanto $|f(x_n)-f(y_n)|\leq \varepsilon$. Isto implica que $f(x_n)$ é uma sequência de Cauchy que é convergente. Portanto existe $\lim_{x\rightarrow a}f(x_n)$.

Se $f:X\rightarrow\R$ é como no teorema anterior, então pode-se definir $\bar f:\overline X\rightarrow\R$ como $\bar f(x)=f(x)$ se $x\in X$ e $\bar f(x)=\lim_{y\rightarrow x}f(y)$ se $x\not\in X$. A função $\bar f$ é uma função contínua tal que $\bar f|_X=f$. Ou seja, funções uniformemente contínuas podem ser extendidas ao fecho do seu domínio.

Teorema. Se $f:X\subseteq\R\rightarrow \R$ é uma função uniformemente contínua e $X$ é um conjunto limitado, então $f(X)$ é limitado.

Demonstração. Defina $\bar f:\overline X\rightarrow\R$ como no parágrafo anterior. Então $\overline X$ é limitado e fechado; ou seja, $\overline X$ é compacto. Por um teorema anterior, $\bar f(\overline X)$ é compacto, e assim ele é limitado. Portanto $f(X)$ é também limitado.

 

 

$\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\A}{\mathcal A}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$
1. Determina os limites das seguintes funções em todo ponto  $a\in X’$.

1. $f:\R\rightarrow \R$, $f(x)=x^n$ (com $n\in\N^+$).
2. $f:[0,\infty)\rightarrow\R$, $f(x)=\sqrt x$.
3. $f:\R\rightarrow\R$, $f(x)=[x]$ onde $[x]$ é a parte inteira de $x$. Ou seja, $[x]$ é o maior inteiro tal que $[x]\leq x$.
4.  $f:\R\rightarrow\R$, $f(x)=0$ se $x\in\Q$, $f(x)=1$ se $x\in\R\setminus\Q$.
5. $f:\R\rightarrow\R$, $f(x)=0$ se $x\in\Q$, $f(x)=x$ se $x\in\R\setminus\Q$.
6. $f:\R\setminus\{0\}\rightarrow \R$, $f(x)=x/|x|$.
7. $f:\R\setminus\{-2\}\rightarrow\R$, $f(x)=(x^2+3x+2)/(x+2)$.

2. Seja $f:\R\rightarrow\R$ a função definida por $f(x)=0$ se $x\in\R\setminus\Q$ e $f(x)=1/q$ se $x\in\Q$ tal que $x=p/q$ com $\mbox{mdc}(p,q)=1$ e $q> 0$. Demonstra que $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$ se $a\in\R\setminus\Q$, enquanto $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ não existe se $a\in Q$. [Dica: veja o argumento no livro de Elon.]

3. Demonstre os resultados que foram apresentados na aula, mas as demonstrações foram omitidas.

4. Mostre, exibindo um contraexemplo, que a condição que $\lim_{y\rightarrow b}g(y)=g(b)$ é necessária no resultado sobre o limite da composição de funções.

5. Enuncie e demonstre os resultados sobre limite de funções apresentados na aula para limites laterais.

$\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\A}{\mathcal A}$Seja $X\subseteq\R$ um conjunto, $f:X\rightarrow\R$ uma função, e $a\in X$. Dizemos que a função $f$ é contínua no ponto $a$  se para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(a)|\leq\varepsilon$ sempre que $|x-a|\leq\delta$.

Uma função $f:X\subseteq\R\rightarrow\R$ é dito contínua (em $X$) se $f(x)$ for contínua no ponto $a$ para todo $a\in X$.

Lema. Seja $f:X\subseteq\R\rightarrow\R$ uma função e $a\in X\cap X’$. As seguintes são equivalentes.

1. $f(x)$ é contínua em $a$;
2. existe o $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ e é igual a $f(a)$.

Lema. Se $f$ é contínua no ponto $a$, então existem $A>0$ e $\delta>0$ tal que $|f(x)|\leq A$ para todo $x\in X\cap (a-\delta,a+\delta)$.

Lema. Sejam $f,g,h:X\rightarrow\R$ e $a\in X$ tais que $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ para todo $x\in X$. Assuma que $f(x)$ e $h(x)$ são contínuas no ponto $a$ e que $f(a)=h(a)$.  Então $g(x)$ é  contínua em $a$.

Lema. Sejam $f,g:X\rightarrow\R$ e $a\in X$ tais que $f(x)$ e $g(x)$ são contínuas em $a$ e $f(a)<g(a)$. Então existe $\delta>0$ tal que $f(x)< g(x)$ para todo $x\in X\cap(a-\delta,a+\delta)$.

Corolário. Seja $f:X\rightarrow\R$ e $a\in X$. Se $f(x)$ é contínua em $a$ e $f(a)>0$, então existe $\delta>0$ tal que $f(x)> 0$ para todo $x\in X\cap(a-\delta,a+\delta)$.

Corolário. Sejam $X\subseteq\R$, $a\in X$, e $f,g:X\rightarrow\R$ tais que $f(x)\leq g(x)$ para todo $x\in X$ e assuma ainda que $f(x)$ e $g(x)$ são contínuas em $a$. Tem-se que $f(a)\leq g(a)$.

Teorema. Sejam $X\subseteq\R$, $a\in X$ e $f:X\rightarrow\R$ uma função. As seguintes são equivalentes.

1. $f(x)$ é contínua em $a$;
2. se $(x_n)$ é uma sequência tal que $x_n\in X$ e $x_n\rightarrow a$ então $f(x_n)\rightarrow f(a)$;
3. se $(x_n)$ é uma sequência tal que $x_n\in X$ e $x_n\rightarrow a$ então $f(x_n)$ é convergente.

Teorema. Sejam $f,g:X\subseteq\R\rightarrow\R$ funções, $a\in X$. Assuma que $f(x)$ e $g(x)$ são contínuas em $a$. Então as funções $f(x)+g(x)$, $f(x)g(x)$, $\alpha f(x)$ (com $\alpha\in\R$) são contínuas em $a$. Se $g(x)\neq 0$ para $x\in X$, então $f(x)/g(x)$ é contínua em $a$.

Teorema. Sejam $X,Y\subseteq\R$, $f:X\rightarrow Y$, $g:Y\rightarrow\R$ funções, $a\in X$, $b\in Y$ e assuma que $f(x)$ é contínua em $a$ e que $g(x)$ é contínua em $b=f(a)$. Então $g\circ f$ é contínua em $a$.