$\newcommand{\N}{\mathbb N}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$ $\newcommand{\R}{\mathbb R}$ $\newcommand{\dx}{\,dx}$
1. Demonstre que as seguintes são equivalentes para um conjunto $X\subseteq \R$.
- Para todo $\varepsilon>0$ existe uma cobertura $\{I_i\mid i\in\N\}$ de $X$ formada por intervalos abertos tal que $\sum_ì|I_i|\leq\varepsilon$.
- Para todo $\varepsilon>0$ existe uma cobertura $\{I_i\mid i\in\N\}$ de $X$ formada por intervalos (não necessariamente abertos) tal que $\sum_ì|I_i|\leq\varepsilon$.
2. Demonstre que o conjunto de Cantor tem medida nula.
3. Seja $f:[a,b]\rightarrow\R$ uma função limitada. Para $x\in[a,b]$ e $\delta>0$, seja $$ \omega(x,\delta)=\sup\{f(x)\mid x\in[x-\delta,x+\delta]\cap[a,b]\}- \inf\{f(x)\mid x\in[x-\delta,x+\delta]\cap[a,b]\}. $$
- Demonstre que existe $\omega(x)=\lim_{\delta\rightarrow 0}\omega(x,\delta)$.
- Demonstre que $\omega(x)=0$ se e somente se $f$ é contínua em $x$.
4. Sejam $f,\ g:[a,b]\rightarrow\R$ funções integráveis.
- Assuma que existe $k>0$ tal que $k\leq|g(x)|$ para todo $x\in[a,b]$. Demonstre que a função $f(x)/g(x)$ é integrável em $[a,b]$. Exiba um exemplo que mostra que a condição que existe um tal $k$ é necessária.
- Assuma que $f(x)\leq g(x)$ para todo $x\in[a,b]$ e demonstre que $\int_{a}^bf(x)\dx\leq\int_{a}^bg(x)\dx$.
- Demonstre que $|f(x)|$ é integrável e que $|\int_{a}^bf(x)\dx|\leq\int_{a}^b|f(x)|\dx$.
5. Seja $a>0$ e seja $f:[-a,a]\rightarrow\R$ uma função integrável. Verifique as seguintes afirmações.
- Se $f$ é ímpar então $\int_{-a}^af(x)\dx=0$.
- Se $f$ é par então $\int_{-a}^af(x)\dx=2\int_{0}^af(x)\dx$.
6. Seja $f:[a,b]\rightarrow \R$ uma função integrável com $f(x)\geq 0$ para todo $x\in[a,b]$, e assuma que $f$ é continua em um ponto $c\in[a,b]$ tal que $f(c)>0$. Demonstre que $\int_a^bf(x)\dx>0$.
7. Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz: Se $f,\ g:[a,b]\rightarrow\R$ são funções contínuas, então $$ \left(\int_a^b f(x)g(x)\dx\right)^2\leq \left(\int_a^b f(x)^2\dx\right) \left(\int_a^b g(x)^2\dx\right). $$ [Dica: Use o Exercício 6 e consulte um livro de álgebra linear.]
8. Seja $f:[a,\infty)\rightarrow\R$ uma função contínua, monótona não crescente tal que $f(x)>0$ para todo $x\in [a,\infty)$. Mostre que se existir $\int_a^\infty f(x)dx$, então $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$.
9. Calcule, se existir, cada uma das seguintes integrais impróprias:
$$
\int_{0}^\infty \frac{1}{(1+x)\sqrt x}dx,\quad \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^6}dx,\quad \int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt[3]x}dx.
$$
