$\newcommand{\C}{\mathbb C}$Lema (Burnside). Se $G$ é um grupo finito que possui uma classe de conjugação com $p^m$ elementos, onde $p$ é um primo e $m\geq 1$, então $G$ não pode ser simples.
Demonstração. Assuma com o objetivo de obter uma contradição que $G$ é simples. Seja $g\in G$ pertencente a uma classe $C$ com $p^m$ elementos como assumido no lema. Suponha que $\varrho$ é uma $\C$-representação não trivial irredutível de $G$ com caracter $\chi$. Pela simplicidade de $G$, $\ker\varrho=1$ e $G\cong G\varrho$. Assuma que $g\chi\neq 0$ e $p\nmid 1\chi$. Por um lema anterior, $g\varrho=\lambda\cdot\mbox{id}$, portanto $g\varrho\in Z(G\varrho)$, equivalentemente $g\in Z(G)=1$; ou seja, $g=1$. Mas isso é impossível, pois nós assumimos que $|g^G|>1$. Obtivemos então que $g\chi=0$ para todo caracter irredutível tal que $p\nmid 1\chi$.
Considere o caracter $\psi$ que corresponde à representação regular sobre $\C G$. Por um resultado anterior,
\[
\psi=\sum_{i=1}^r(1\chi_i)\chi_i
\]
onde $\chi_1,\ldots,\chi_r$ são os caracteres irredutíveis de $G$.Assumindo que $\chi_1$ é a representação trivial, e usando que $g\neq 1$,
\begin{align*}
0=&g\psi=\sum_{i=1}^r (1\chi_i)(g\chi_i)=g\chi_1+\sum_{i\geq 2,\ p\nmid 1\chi_i}(1\chi_i)(g\chi_i)+\sum_{i\geq 2,\ p\mid 1\chi_i}(1\chi_i)(g\chi_i)\\&=
1+\sum_{i\geq 2,\ p\mid 1\chi_i}(1\chi_i)(g\chi_i)
\end{align*}
A última expressão na linha anterior é um número inteiro na forma $1+kp$ onde $k$ também é um inteiro, e consequentemente não pode ser igual a zero: então o grupo $G$ é simples.
Teorema (Burnside). Sejam $p$ e $q$ números primos. Então um grupo de ordem $p^\alpha q^\beta$ é solúvel.
Demonstração. Assuma que o teorema é falso e seja $G$ um contraexemplo minimal. Se $1<N\lhd G$ é um subgrupo normal, então as ordens de $N$ e $G/N$ estão na forma $p^*q^*$. Pela minimalidade de $G$, $N$ e $G/N$ são solúveis que implica que $G$ também é. Isto implica que um contraexemplo minimal é um grupo simples.
Seja $Q$ um $q$-subgrupo de Sylow de $G$. O centro de $Q$ é não trivial e seja $g\in Z(Q)$. Como $Q\leq C_G(g)$ e $Z(G)=1$, tem-se que $|g^G|=|G:C_G(g)|=p^a$ com algum $a\neq 1$. Mas isso é impossível pelo resultado anterior.
