$\newcommand{\C}{\mathbb C}\newcommand{\K}{\mathbb K}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$ Um elemento $\alpha\in\C$ é dito inteiro algébrico se $\alpha$ é raiz de um polinômio mônico em $\Z[t]$.
Lema. As seguintes são verdadeiras.
- Se $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ são inteiros algébricos, então $\Z[\alpha_1,\ldots,\alpha_r]$ é finitamente gerado como um grupo abeliano (aditivo).
- Se $R$ é um subanel de $\C$ tal que $\Z\subseteq R$ e $R$ é finitamente gerado como um grupo abeliano, então os elementos de $R$ são inteiros algébricos.
- O conjunto dos inteiros algébricos de $\C$ é um anel.
- $\alpha\in\Q$ é um inteiro algébrico se e somente se $\alpha\in\Z$.
Demonstração. Demonstraremos apenas 2. e 3. O resto é exercício.
2. Seja $s\in R$ e assuma que $R$ é gerado por $\left<x_1,\ldots,x_d\right>$ como um grupo abeliano. Para $i\in\{1,\ldots,d\}$, temos que
\[
s x_i=\sum_{j=1}^d \alpha_{ij}x_j
\]
com $\alpha_{ij}\in\Z$. Pondo $A=(\alpha_{ij})$, temos que
\[
A (x_1,\ldots,x_d)^{\rm t}=s(x_1,\ldots,x_d)^{\rm t}.
\]
Portanto, $s$ é um autovalor de $A$; ou seja $s$ é uma raiz do polinômio caraterístico de $A$ que é um elemento mônico de $\Z[t]$.
3. Segue dos items 1. e 2.
Lema. Seja $G$ um grupo finito e sejam $C_1,\ldots,C_r$ as classes de conjugação de $G$. Para um corpo $\K$ de caraterística zero, os elementos
\[
k_i=\sum_{g\in C_i}g\quad\mbox{com}\quad i\in\{1,\ldots,r\}
\]
formam uma base do centro de $\K G$. Além disso,
\[
k_ik_j=\sum_{s=1}^r m_{ij}^{(s)} k_s
\]
onde $m_{ij}^{(s)}$ é o número de pares $(g_i,g_j)\in C_i\times C_j$ tal que $g_ig_j=g$ onde $g$ é um elemento fixo de $C_r$. Em particular os coeficientes $m_{ij}^{(s)}$ são inteiros não negativos.
Demonstração. Exercício.
Lembre que se $\chi$ é um caracter de $G$, então $g\chi$ é uma soma de $|G|$-ésimas raízes da unidade. Denotando uma $|G|$-ésima raiz primitiva por $\xi$, temos que $g\chi\in\K$ onde $\K$ é o corpo numérico $\Q(\xi)$. Além disso, $g\chi$ é um inteiro algébrico. Provaremos o seguinte teorema mais forte.
Teorema. Seja $G$ um grupo finito, seja $\chi$ um $\C$-caracter irredutível de $G$ de grau $n$, e seja $g\in G$. Então $|g^G|(g\chi)/n$ é um inteiro algébrico.
Demonstração. Sejam $C_1,\ldots,C_r$ as classes de conjugação de $G$ e seja $k_i=\sum_{x\in C_i}x$. Então $\{k_1,\ldots,k_r\}$ é uma base de $\C G$. Escreva
\begin{equation}\label{eq:center}
k_ik_j=\sum_{s=1}^rm_{ij}^{(s)} k_s
\end{equation}
e lembre pelo exercício anterior que os coeficientes $m_{ij}^{(s)}$ são números inteiros não negativos. Seja $\varrho$ a representação correspondente a $\chi$ e considere $\varrho$ como um mapa $\C G\to \mbox{End}(V)$. Como $k_i$ é um elemento central, $k_i\varrho=\lambda_i I$ com algum $\lambda_i\in\C$. Assuma que $g\in C_i$, seja $\lambda=\lambda_i$ e calcule que
\[
n\lambda=\mbox{tr}(k_i\varrho)=\sum_{x\in C_i}x\chi=|g^G|\chi(g).
\]
Precisamos provar que $\lambda$ é um inteiro algébrico. Aplicando $\varrho$ na equação \eqref{eq:center}, obtemos que
\begin{equation}\label{eq:lambdaeq}
\lambda_i\lambda_j=\sum_{s=1}^r m_{ij}^{(s)}\lambda_s.
\end{equation}
Considere
\[
R=\left\{\sum_{i=1}^r\alpha_i \lambda_i\mid\alpha_i\in\Z\right\}.
\]
Pela equação \eqref{eq:lambdaeq}, $R$ é um anel tal que $\Z\subseteq R\subseteq \C$. Além disso, $R$ é finitamente gerado como grupo abeliano. Portanto, pelo lema anterior, os elementos de $R$ são inteiros algébricos. Então $\lambda$ é um inteiro algébrico, como foi afirmado.
Corolário. Seja $n$ o grau de um character irredutível $\chi$ de um grupo finito $G$. Então $n\mid |G|$.
Demonstração. Seja $\varrho$ a representação de $\chi$. Assuma que $C_1,\ldots,C_r$ são as classes de conjugação de $G$, e seja $g_i\in C_i$ para todo $i$. Pela relação de ortogonalidade, temos que
\[
\frac{|G|}{n} = \frac 1n\sum_{g\in G}(g\chi)\overline{g\chi}=\frac 1n\sum_{i=1}^r |C_i|(g_i\chi)\overline{g_i\chi}.
\]
Usando a notação do resultado anterior, $\lambda_i=|C_i|(g_i\chi)/n$ e obtemos que
\[
|G|/n=\sum_{i=1}^r \lambda_i\overline{g_i\chi}.
\]
O lado direito da última equação é um inteiro algébrico. Então a lado esquerdo também é, e $m/n\in\Q$ é um inteiro algébrico. Portanto $|G|/n$ é um inteiro, ou seja $n\mid |G|$.
Lema. Seja $\varrho$ uma $\C$-representação irredutível de grau $n$ de $G$ com caracter $\chi$ e seja $g\in G$ tal que $\mbox{mdc}(|g^G|,n)=1$. Então $g\chi=0$ ou $g\varrho=\lambda \cdot\mbox{id}$.
Demonstração. Denote $|g^G|=m$. Sejam $r,s\in\Z$ tal que $rm+sn=1$. Por um teorema anterior, $m(g\chi)/n$ é um inteiro algébrico, então
\[
t=\frac{g\chi}n=\frac{rm(g\chi)}n+\frac{sn(g\chi)}n
\]
também é um inteiro algébrico.
Sejam $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ os autovalores de $g\varrho$ (com multiplicidade) tais que $g\chi=\sum_i \lambda_i$ e $|t|=|\sum_i \lambda_i|/n$. Como cada $\lambda_i$ é uma raiz da identididade, $|\lambda_i|=1$ e $|t|=|\sum_i\lambda_i|/n\leq 1$.
Assuma que os $\lambda_i$ não são todos iguais. Isto implica que $|t|<1$. Seja $\K=\Q(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ e seja $\alpha\in\mbox{Gal}(\K:\Q)$. Neste caso os $\lambda_i\alpha$ também não são todos iguais, e $|t\alpha|<1$. Lembre que $\K$ é uma extensão de Galois (é uma extensão ciclotômica) de $\Q$ e que $G=\mbox{Gal}(\K:\Q)$ é um grupo finito. Ponha
\[
u=\prod_{\alpha\in G}t\alpha.
\]
Então $|u|<1$ e $u\alpha=u$ para todo $\alpha\in G$. Logo $u\in \Q$. Mas $u$ é um inteiro algébrico tal que $|u|<1$, então $u=0$. Isto diz que $t=0$, que mostra que $g\chi=0$.
