O subgrupo de Frattini

O subgrupo de Frattini de um grupo $G$, denotado por $\mathrm{\Phi }(G)$, e a interseção dos subgrupos maximais de $G$. Como um automorfismo $\alpha \in \text{Aut}(G)$ induz uma permutação no conjunto de subgrupos maximais de $G$, o subgrupo $\mathrm{\Phi }(G)$ é caraterístico e, em particular, normal em $G$. Um elemento $g\in G$ é dito não gerador se $⟨X,g⟩=G$ implica que $⟨X⟩=G$ para todo $X\subseteq G$ (ou seja, $g$ pode ser omitido de todo subconjunto gerador de $G$).

Lema. O subgrupo de Frattini de um grupo finito coincide com o subconjunto de não geradores de $G$.

Demonstração. Assuma que $G$ é finito. Seja $g\in \mathrm{\Phi }(G)$ e seja $X\subseteq G$ tal que $⟨X,g⟩=G$. Assumindo que $⟨X⟩\ne G$, temos que $⟨X⟩$ está contido em um subgrupo maximal $M$ de $G$ ($G$ é finito). Como $g\in \mathrm{\Phi }(G)$, temos ainda que $g\in M$. Logo $⟨X,g⟩\le M$, que é uma contradição. Portanto $⟨X⟩=G$, e $g$ é não gerador.

Assuma agora que $g$ é não gerador e seja $M$ um subgrupo maximal tal que $g\notin M$. Pela maximalidade de $M$, temos que $⟨M,g⟩=G$. Como $g$ é não gerador, isto implica que $M=G$, mas isso é uma contradição. Portanto devemos ter que $g\in M$. Como $M$ é arbitrário, temos também que $g\in \mathrm{\Phi }(G)$.

Corolário. Se $G$ é finito e $P$ é um subgrupo de Sylow de $\mathrm{\Phi }(G)$, então $P⊴G$. Consequentemente, $\mathrm{\Phi }(G)$ é um grupo nilpotente.

Demonstração. Seja $P$ um subgrupo de Sylow de $\mathrm{\Phi }(G)$. Como $\mathrm{\Phi }(G)⊴G$, obtemos pelo argumento de Frattini que $G=\mathrm{\Phi }(G)N_G(P)$. Pelo Lema anterior, $G=N_G(P)$ que implica que $P⊴G$. Em particular, $P⊴\mathrm{\Phi }(G)$ e isto vale para todos os subgrupos de Sylow de $\mathrm{\Phi }(G)$. Logo, $\mathrm{\Phi }(G)$ é produto direto dos seus subgrupos de Sylow e $\mathrm{\Phi }(G)$ é nilpotente.

Exercicio. 

1. Seja $G$ um grupo abeliano elementar. Então $\mathrm{\Phi }(G)=1$.
2. Seja $N$ um subgrupo normal de $G$, então $\mathrm{\Phi }(G)N/N\le \mathrm{\Phi }(G/N)$, se  $\mathrm{\Phi }(G)\le N$. Então $\mathrm{\Phi }(G/N)=\mathrm{\Phi }(G)/N$.

Teorema. Seja $G$ um $p$-grupo finito. Então $\mathrm{\Phi }(G)=G^{\prime }{G}^p$ onde
$$G^p=⟨g^p\mid g\in G⟩.$$

Demonstração. Seja $M$ um subgrupo maximal de $G$. Por um teorema anterior, $M⊴G$ e $G/M\cong C_p$. Em particular, $G/M$ é abeliano, e $G^{\prime }\le M$. Além disso, se $g\in G$, então
$$1=(gM{)}^p=g^{p}M$$
e $g^p\in M$. Em particular, $G^p\le M$, e $G^{\prime }{G}^p\le M$ Como $M$ é arbitrário, $G^{\prime }{G}^p\le \mathrm{\Phi }(G)$.

Para provar que  $G^{\prime }{G}^p=\mathrm{\Phi }(G)$, note que $G/G^{\prime }{G}^p$ é um grupo abeliano elementar. Então as duas partes do exercício anterior implicam que
$$1=\mathrm{\Phi }(G/G^{\prime }{G}^p)=\mathrm{\Phi }(G)/G^{\prime }{G}^p.$$
Logo $\mathrm{\Phi }(G)=G^{\prime }{G}^p$.

Note que para um $p$-grupo finito $G$, o quociente $G/\mathrm{\Phi }(G)$ é um $p$-grupo abeliano elementar, e portanto pode ser considerado como um espaço vetorial sobre o corpo ${\mathbf{F}}_p$.

Teorema (Teorema de Base de Burnside). Seja $G$ um $p$-grupo finito e $X$ um sistema minimal de geradores de $G$. Então $|X|={\dim }_{{\mathbf{F}}_p}G/\mathrm{\Phi }(G)$. Em particular, todo sistema minimal de geradores de $G$ tem a mesma cardinalidade.

Demonstração. Seja $X=\{x_1,\dots ,x_d\}$ um sistema minimal de geradores de $G$. Seja $V=G/\mathrm{\Phi }(G)$ e considere $V$ como um espaço vetorial sobre ${\mathbf{F}}_p$. Para $g\in G$, denotemos por $\overline{g}$ a imagem $g\mathrm{\Phi }(G)$. Segue que $\overline{X}=\{{\overline{x}}_1,\dots ,{\overline{x}}_d\}$ é um sistema de geradores de $V$. Por um argumento standard de álgebra linear, pode-se escolher uma base de $V$ composto por elementos de $\overline{X}$. Assuma sem perder generalidade que $\{{\overline{x}}_1,\dots ,{\overline{x}}_s\}$ é uma base de $V$ com $s\le d$. Isto implica que $G=⟨x_1,\dots ,x_s,\mathrm{\Phi }(G)⟩=⟨x_1,\dots ,x_s⟩$. Pela minimalidade de $X$, tem-se que $d=s={\dim }_{{\mathbf{F}}_p}V$.