O subgrupo de Frattini de um grupo $G$, denotado por $\Phi(G)$, e a interseção dos subgrupos maximais de $G$. Como um automorfismo $\alpha\in \mbox{Aut}(G)$ induz uma permutação no conjunto de subgrupos maximais de $G$, o subgrupo $\Phi(G)$ é caraterístico e, em particular, normal em $G$. Um elemento $g\in G$ é dito não gerador se $\left<X,g\right>=G$ implica que $\left<X\right>=G$ para todo $X\subseteq G$ (ou seja, $g$ pode ser omitido de todo subconjunto gerador de $G$).
Lema. O subgrupo de Frattini de um grupo finito coincide com o subconjunto de não geradores de $G$.
Demonstração. Assuma que $G$ é finito. Seja $g\in \Phi(G)$ e seja $X\subseteq G$ tal que $\left<X,g\right>=G$. Assumindo que $\left<X\right>\neq G$, temos que $\left<X\right>$ está contido em um subgrupo maximal $M$ de $G$ ($G$ é finito). Como $g\in \Phi(G)$, temos ainda que $g\in M$. Logo $\left<X,g\right>\leq M$, que é uma contradição. Portanto $\left<X\right>=G$, e $g$ é não gerador.
Assuma agora que $g$ é não gerador e seja $M$ um subgrupo maximal tal que $g\not\in M$. Pela maximalidade de $M$, temos que $\left<M,g\right>=G$. Como $g$ é não gerador, isto implica que $M=G$, mas isso é uma contradição. Portanto devemos ter que $g\in M$. Como $M$ é arbitrário, temos também que $g\in\Phi(G)$.
Corolário. Se $G$ é finito e $P$ é um subgrupo de Sylow de $\Phi(G)$, então $P\unlhd G$. Consequentemente, $\Phi(G)$ é um grupo nilpotente.
Demonstração. Seja $P$ um subgrupo de Sylow de $\Phi(G)$. Como $\Phi(G)\unlhd G$, obtemos pelo argumento de Frattini que $G=\Phi(G)N_G(P)$. Pelo Lema anterior, $G=N_G(P)$ que implica que $P\unlhd G$. Em particular, $P\unlhd \Phi(G)$ e isto vale para todos os subgrupos de Sylow de $\Phi(G)$. Logo, $\Phi(G)$ é produto direto dos seus subgrupos de Sylow e $\Phi(G)$ é nilpotente.
Exercicio.
- Seja $G$ um grupo abeliano elementar. Então $\Phi(G)=1$.
- Seja $N$ um subgrupo normal de $G$, então $\Phi(G)N/N\leq \Phi(G/N)$, se $\Phi(G)\leq N$. Então $\Phi(G/N)=\Phi(G)/N$.
Teorema. Seja $G$ um $p$-grupo finito. Então $\Phi(G)=G’G^p$ onde
$$
G^p=\left<g^p\mid g\in G\right>.
$$
Demonstração. Seja $M$ um subgrupo maximal de $G$. Por um teorema anterior, $M\unlhd G$ e $G/M\cong C_p$. Em particular, $G/M$ é abeliano, e $G’\leq M$. Além disso, se $g\in G$, então
$$
1=(gM)^p=g^pM
$$
e $g^p\in M$. Em particular, $G^p\leq M$, e $G’G^p\leq M$ Como $M$ é arbitrário, $G’G^p\leq \Phi(G)$.
Para provar que $G’G^p=\Phi(G)$, note que $G/G’G^p$ é um grupo abeliano elementar. Então as duas partes do exercício anterior implicam que
$$
1=\Phi(G/G’G^p)=\Phi(G)/G’G^p.
$$
Logo $\Phi(G)=G’G^p$.
Note que para um $p$-grupo finito $G$, o quociente $G/\Phi(G)$ é um $p$-grupo abeliano elementar, e portanto pode ser considerado como um espaço vetorial sobre o corpo $\mathbf F_p$.
Teorema (Teorema de Base de Burnside). Seja $G$ um $p$-grupo finito e $X$ um sistema minimal de geradores de $G$. Então $|X|=\dim_{\mathbf F_p}G/\Phi(G)$. Em particular, todo sistema minimal de geradores de $G$ tem a mesma cardinalidade.
Demonstração. Seja $X=\{x_1,\ldots,x_d\}$ um sistema minimal de geradores de $G$. Seja $V=G/\Phi(G)$ e considere $V$ como um espaço vetorial sobre $\mathbf F_p$. Para $g\in G$, denotemos por $\bar g$ a imagem $g\Phi(G)$. Segue que $\bar X=\{\bar x_1,\ldots,\bar x_d\}$ é um sistema de geradores de $V$. Por um argumento standard de álgebra linear, pode-se escolher uma base de $V$ composto por elementos de $\bar X$. Assuma sem perder generalidade que $\{\bar x_1,\ldots,\bar x_s\}$ é uma base de $V$ com $s\leq d$. Isto implica que $G=\left<x_1,\ldots,x_s,\Phi(G)\right>=\left<x_1,\ldots,x_s\right>$. Pela minimalidade de $X$, tem-se que $d=s=\dim_{\mathbf F_p}V$.
