Exercícios 3

$\newcommand{\rot}[1]{\mbox{Rot}(#1)}\newcommand{\ref}[1]{\mbox{Ref}(#1)}$ Denote por $\rot \alpha$ a rotação do plano $\mathbb R^2$ pela origem por ângulo $\alpha$ no sentido contrário aos ponteiros do relógio. Denote por $\ref\alpha$ a reflexão de $\mathbb R^2$ pelo eixo que passe pela origem e tem ângulo $\varphi$ com o eixo $x$.

1. Ache as matrizes das transformações $\rot\alpha$ e $\ref\alpha$ na base canônica de $\mathbb R^2$.  (Como é comum na teoria dos grupos, a matriz de uma transformação linear $F$ é a matriz $A$ que satisfaz $F(v)=v\cdot A$ para todo $v\in\mathbb R^2$).

2. Sejam $\varphi$ e $\psi$ ângulos. Demonstre as seguintes igualdades:

1. $\ref\varphi\ref\psi=\rot{2(\psi-\varphi)}$
2. $\rot\varphi\ref\psi=\ref{\psi-\varphi/2}$;
3. $\ref\varphi\rot\psi=\ref{\varphi+\psi/2}$.

Usando estas igualdades, determine $\rot\varphi^{\ref\psi}$, $\ref\varphi^{\rot\psi}$, $[\ref\varphi,\ref\psi]$, $[\rot\varphi,\ref\psi]$.

3.  Denote por $O_2$ o grupo das reflexões e rotações do plano $\mathbb R^2$. Calcule a série derivada, a série central inferior e a série central superior de $O_2$.

4. Seja $D_n$ o grupo dihedral de ordem $2n$. Calcule a série derivada, a série central superior, e a série central inferior de $D_n$. Dê uma condição suficiente e necessária para a existência de $k$ e $\ell$ que satisfazem $\zeta_k(D_n)=D_n$ e $\gamma_\ell(D_n)=1$.

5. Seja $H\leq G$ e $N\unlhd G$ tal que $N\leq K$. Mostre que $[H,G]\leq N$ se e somente se $H/N\leq Z(G/N)$.

6. Demonstre as seguintes afirmações para $X,Y\leq G$.

1. $[X,Y]=[Y,X]$.
2. Se $X, Y\unlhd G$, então $[X,Y]\unlhd G$.
3. Se $X, Y$ são caraterísticos em $G$, então $[X,Y]$ é caraterístico em $G$.

7. Sejam $x,y,z\in G$. Demonstre as seguintes igualdades:

1. $[x,y]=[y,x]^{-1}$;
2. $[x,yz]=[x,z][x,y]^{z}$;
3. $[xy,z]=[x,z]^{y}[y,z]$;
4. $[x,y^{-1}]=([x,y]^{y^{-1}})^{-1}$;
5. $[x^{-1},y]=([x,y]^{x^{-1}})^{-1}$;
6. $[x,y^{-1},z]^y[y,z^{-1},x]^z[z,x^{-1},y]^x=1$ (identidade de Hall-Witt).

8. Para $X,Y,Z\leq G$, denote
$$
[X,Y,Z]=\left<[[x,y],z]\mid x\in X, y\in Y, z\in Z\right>.
$$
Demonstre as seguintes afirmações.

1. Se $[X,Y,Z]=[Y,Z,X]=1$, então $[Z,X,Y]=1$.
2. Se $N\unlhd G$ e $[X,Y,Z]\leq N$ e $[Y,Z,X]\leq N$, então $[Z,X,Y]\leq N$. (Lema dos $[Z,X,Y]\leq [X,Y,Z][Y,Z,X]$.
3. $[\gamma_i(G),\gamma_j(G)]\leq \gamma_{i+j}(G)$ para todo $i,j\geq 1$.