Seja $G$ um grupo. Se $x,y\in G$, então o comutador $[x,y]$ de $x,y$ é definido por $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$. Em um grupo $G$, denotamos por $G’$ o subgrupo $G’=\left< [x,y] \mid x,y\in G\right>$ (o subgrupo gerado por comutadores). O subgrupo $G’$ é chamado de subgrupo derivado, ou subgrupo comutador de $G$.
Um subgroupo $H\leq G$ é dito caraterístico, se $H$ é invariente por automorfismos de $G$. Um subgrupo caraterístico é normal.
Lema. Seja $G$ um grupo e sejam $H$, $K$ subgroupos de $G$ tal que $K\leq H\leq G$.
- Se $K$ é caraterístico em $H$ e $H$ é caraterístico em $G$, então $K$ é caraterístico em $G$.
- Se $K$ é caraterístico em $H$ e $H$ é normal em $G$, então $K$ é normal em $G$.
Demonstração. Exercício.
Lema. $G’$ é um subgrupo caraterístico de $G$. Em particular, $G’$ é um subgrupo normal. Além disso, $G/G’$ é um grupo abeliano e se $N\unlhd G$ tal que $G/N$ é abeliano, então $G’\leq N$. (Pode-se dizer que $G’$ é o menor subgrupo normal de $G$ com quociente abeliano.)
Demonstração. Exercício.
Podemos definir recursivamente $G”=(G’)’$, $G”’=(G”)’$. Obtemos uma série chamada de série derivada ou série comutador de $G$. Os termos desta série são subgrupos caraterísticos, em particular, eles são normais em $G$. Os termos da série derivada são denotados também por $G=G^{(0)}$, $G’=G^{(1)}$, $G”=G^{(2)}$, etc.
Lema. Seja $G$ um grupo e seja $G_0=G>\cdots> G_k>\cdots$ uma série subnormal tal que $G_i/G_{i+1}$ é abeliano para todo $i$. Então $G^{(i)}\leq G_i$ vale para todo $i\geq 0$.
Demonstração. A afirmação é trivialmente verdadeira para $i=0$. Assuma que $G^{(i)}\leq G_i$. Como $G_i/G_{i+1}$ é abeliano, temos que $G_i’\leq G_{i+1}$. Logo
$$
G^{(i+1)}=(G^{(i)})’\leq G_i’\leq G_{i+1}.
$$
Então a afirmação é verdadeira para $i+1$ e segue por indução que ela é verdadeira para todo $i$.
Corolário. As seguintes são equivalentes para um grupo $G$.
- Existe uma série normal $G_0=G>\cdots >G_k=1$ com quocientes abelianos.
- Existe uma série subnormal $G_0=G>\cdots> G_k=1$ com quocientes abelianos.
- Existe $k$ tal que $G^{(k)}=1$.
Demonstração. Segue dos resultados anteriores.
Um grupo $G$ é dito solúvel se uma das afirmações do corolário anterior é válida para $G$. O menor $k$ tal que $G^{(k)}=1$ é chamado de comprimento derivado de $G$.
Um grupo abeliano finito é dito grupo abeliano elementar,, se existe um primo $p$, tal que $x^p=1$ para todo $x\in G$. Pelo Teorema Fundamental dos Grupos Finitos Abelianos, temos que $G$ é grupo abeliano elementar se e somente se $G=C_p\times\cdots \times C_p$ com algum primo $p$. Em particular, um grupo abeliano elementar pode ser considerado como um espaço vetorial sobre o corpo $\mathbb F_p$.
Lema. As seguintes afirmações são válidas para um grupo $G$.
- Se $\varphi:G\rightarrow K$ é um homomorfismo, então
$$
\varphi(G^{(i)})=\varphi(G)^{(i)}
$$
para todo $i\geq 0$. - Se $N\unlhd G$ e $Q=G/N$, então $Q^{(i)}= G^{(i)}N/N$.
- Se $G$ é solúvel e $H\leq G$, $N\unlhd G$, então $H$ e $G/N$ são solúveis.
- Se $N\unlhd G$, tal que $N$ e $G/N$ são solúveis, então $G$ é solúvel.
- Se $G$ é um p-grupo finito, então $G$ é solúvel.
- Se $G$ é finito, então $G$ é solúvel se e somente se os fatores de composição de $G$ são todos grupos cíclicos de ordem prima.
- Se $G$ é finito e solúvel e $N$ é um subgrupo minimal normal de $G$, então $N$ é abeliano elementar.
Demonstração. 1. Indução por $i$. Se $i=0$, então não há nada para provar. Assuma que a afirmação é verdadeira para $i\geq 0$.
O subgrupo $G^{(i+1)}$ é gerado por elementos da forma $[x,y]$ onde $x,y\in G^{(i)}$. Como
$$
\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]\in \varphi(G^{(i)})’=(\varphi(G)^{(i)})’=\varphi(G)^{(i+1)},
$$
obtemos que $\varphi(G^{(i+1)})\leq \varphi(G)^{(i+1)}$.
Assuma agora que $[u,v]\in\varphi(G)^{(i+1)}$ com $u,v\in \varphi(G)^{(i)}$. Temos que existem $x,y\in G^{(i)}$ tal que $\varphi(x)=u$ e $\varphi(y)=v$. Logo
$$
[u,v]=\varphi([x,y])\in \varphi(G^{(i+1)})
$$
e $\varphi(G)^{(i+1)}\leq \varphi(G^{(i+1)})$. Temos equality.
2. Seja $\varphi:G\rightarrow G/N$ o homomorfismo natural. Por parte (1), tem-se que
$$
Q^{(i)}=\varphi(G)^{(i)}=\varphi(G^{(i)})=G^{(i)}N/N.
$$
3. Assuma que $G$ é solúvel e assuma que $G^{(k)}=1$ para algum $k$. Pode-se verificar por indução que $H^{(i)}\leq G^{(i)}$ vale para todo $i\geq 0$. Portanto, $H^{(k)}=1$ e segue que $H$ é solúvel.
Seja agora $N\unlhd G$ e assuma que $Q=G/N$. Por parte (2), temos que $(G/N)^{(k)}= G^{(k)}N/N=1$. Logo $(G/N)^k=1$ e portanto $G/N$ é solúvel.
4. Assuma que $N\unlhd G$ e $G/N$ são solúveis. Seja $Q=G/N$. Existe $m$ tal que $Q^{(m)}=1$. Isto quer dizer que $G^{(m)}\leq N$. Existe $l$ tal que $N^{(l)}=1$. Afirmamos que $G^{(m+l)}=1$. De fato,
$$
G^{(m+l)}=(G^{(m)})^{(l)}\leq N^{(l)}=1.
$$
Logo, $G$ é solúvel.
5. Provaremos por indução por $|G|$. Se $|G|=1$, não há nada para provar. Assuma que $G$ é um $p$-grupo finito de ordem $p^n$ e assuma que $p$-grupos de ordem menor que $p^n$ são solúveis. Como $G$ é um $p$-grupo finito, $Z(G)$ é um subgrupo normal não trivial de $G$. Além disso, $Z(G)$ é abeliano e, pela hipótese de indução, $G/Z(G)$ é solúvel. Portanto, $G$ é solúvel pela afirmação anterior.
6. Claro.
7. Seja $N$ um subgrupo minimal normal de $G$. Como $N’$ é um subgrupo caraterístico em $N$, temos que $N’$ é normal de $G$, que implica, pela minimalidade de $N$, que $N’=1$. Logo $N$ é um grupo abeliano finito. Pelo Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos Finitos, $N=N_{p_1}\times \cdots \times N_{p_k}$ onde $N_{p_i}$ é o $p_i$-subgrupo de Sylow de $N$. Cada $N_{p_i}$ é caraterístico em $N$, e normal em $G$. Pela minimalidade de $N$, temos que $N=N_{p_1}$; isto é, $N$ é um $p$-grupo abeliano. Finalmente, observe que
$$
N^p=\{x^p\mid x\in N\}
$$
é um subgrupo caraterístico em $N$ que implica que $N^p=1$; ou seja $N$ é abeliano elementar.
