Exercícios (Integral)

$$ $$ $$ $$ $$
1. Demonstre que as seguintes são equivalentes para um conjunto $X\subseteq \mathbb{R}$.

1. Para todo $\epsilon >0$ existe uma cobertura $\{I_i\mid i\in \mathbb{N}\}$ de $X$ formada por intervalos abertos tal que $\sum _{ì}|I_i|\le \epsilon$.
2. Para todo $\epsilon >0$ existe uma cobertura $\{I_i\mid i\in \mathbb{N}\}$ de $X$ formada por intervalos (não necessariamente abertos) tal que $\sum _{ì}|I_i|\le \epsilon$.

2. Demonstre que o conjunto de Cantor tem medida nula.

3. Seja $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ uma função limitada. Para $x\in [a,b]$ e $\delta >0$, seja $$\omega (x,\delta )=sup\{f(x)\mid x\in [x-\delta ,x+\delta ]\cap [a,b]\}-inf\{f(x)\mid x\in [x-\delta ,x+\delta ]\cap [a,b]\}.$$

1. Demonstre que existe $\omega (x)=\underset{\delta \to 0}{lim}\omega (x,\delta )$.
2. Demonstre que $\omega (x)=0$ se e somente se $f$ é contínua em $x$.

4. Sejam $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ funções integráveis.

1. Assuma que existe $k>0$ tal que $k\le |g(x)|$ para todo $x\in [a,b]$. Demonstre que a função $f(x)/g(x)$ é integrável em $[a,b]$. Exiba um exemplo que mostra que a condição que existe um tal $k$ é necessária.
2. Assuma que $f(x)\le g(x)$ para todo $x\in [a,b]$ e demonstre que ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$.
3. Demonstre que $|f(x)|$ é integrável e que $|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$.

5. Seja $a>0$ e seja $f:[-a,a]\to \mathbb{R}$ uma função integrável. Verifique as seguintes afirmações.

1. Se $f$ é ímpar então ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$.
2. Se $f$ é par então ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$.

6. Seja $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ uma função integrável com $f(x)\ge 0$ para todo $x\in [a,b]$, e assuma que $f$ é continua em um ponto $c\in [a,b]$ tal que $f(c)>0$. Demonstre que ${\int }_a^{b}f(x)dx>0$.

7. Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz: Se $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ são funções contínuas, então $${({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx)}^2\le ({\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx)({\int }_a^{b}g(x{)}^{2}dx).$$ [Dica: Use o Exercício 6 e consulte um livro de álgebra linear.]

8. Seja $f:[a,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ uma função contínua, monótona não crescente tal que $f(x)>0$ para todo $x\in [a,\mathrm{\infty })$. Mostre que se existir ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$, então $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$.

9. Calcule, se existir, cada uma das seguintes integrais impróprias:
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}dx,{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+x^6}dx,{\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx.$$