$\newcommand{\N}{\mathbb N}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$ $\newcommand{\R}{\mathbb R}$1. Seja $f:X\rightarrow\R$ uma função e seja $a\in X\cap X’$. Mostre que as seguintes são equivalentes:
- $f(x)$ é derivável em $a$;
- existe uma função $\eta:X\rightarrow\R$ tal que $f(x)=f(a)+\eta(x)(x-a)$ para todo $x\in X$ e $\eta(x)$ é contínua em $a$.
2. (Regra de L’Hospital) Sejam $f,\ g:X\rightarrow\R$ funções deriváveis em um ponto $a\in X\cap X’$ e assuma que $f(a)=g(a)=0$. Se $g'(a)\neq 0$, então $\lim_{x\rightarrow a}f(x)/g(x)=f'(a)/g'(a)$.
3. Seja $f:\R^+\rightarrow\R$ definida por $f(x)=\sqrt[n]x$ com $n\in\N$. Calcule a derivada de $f$ sem usar que $x\mapsto \sqrt[n]x$ é a inversa de $x\mapsto x^n$.
4. Uma função $f:\R\rightarrow \R$ é dita par se $f(-x)=f(x)$ para todo $x\in \R$; a função $f(x)$ é dita ímpar se $f(-x)=-f(x)$ para todo $x\in \R$. Demonstre que a derivada, se existir, de uma função par é ímpar, e a derivada, se existir, de uma função ímpar é par.
5. Seja $I$ um intervalo e $f:I\rightarrow \R$ uma função derivável (em todo ponto $a\in I)$. Seja $a$ um ponto interior a $I$ tal que $f'(a)=0$ e existe $f”(a)$ tal que $f”(a)\neq 0$. Mostre que $f(x)$ tem mínimo local ou máximo local em $a$. Demonstre por exibir um exemplo que a condição $f”(a)\neq 0$ é necessária para concluir que $f(x)$ tem mínimo local ou máximo local em $a$.
6. Seja $f:[a,b]\rightarrow \R$ uma função derivável em $[a,b]$ com $f'(x)\geq 0$ para todo $x\in [a,b]$ e assuma que $f'(x)=0$ vale somente para um número finito de $x\in[a,b]$. Demonstre que $f$ é crescente.
7. Seja $f:[a,b]\rightarrow\R$ uma função derivável em $[a,b]$ tal que $|f'(x)|\leq k$ para todo $x\in [a,b]$. Mostre que a função $f$ é lipschitziana; ou seja $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|$ para todo $x,\ y\in[a,b]$.
8. Seja $f:\R\rightarrow\R$ uma função e defina $$ M=\{a\in\R\mid f(x)\mbox{ possui mínimo ou máximo local estrito em $a$}\}. $$ Demonstre que $M$ é enuverável.
Nos seguintes exercícios $I$ e $J$ denotam intervalos.
9. Para $n≥0$, defina a função $f_n:\R\rightarrow\R$ como $f_n(x)=x^n|x|$. Demonstre que $f_n(x)$ é $n$ vezes derivável, mas não é $n+1$ vezes derirvável.
10. Seja $I$ aberto e $g:I\rightarrow\R$ contínua em $I$ exceto no ponto $a\in I$. Assuma também que existem os limites laterais $\lim_{x\rightarrow a+}g(x)=A$ e $\lim_{x\rightarrow a-}g(x)=B$ e que $A\neq B$. Demonstre que não existe uma função $f:I\rightarrow\R$ tal que $f'(x)=g(x)$.
11. Seja $f:\R\rightarrow\R$ a função definida por $f(x)=x^5/(1+x^6)$. Calcule $f^{(2001)}(0)$.
12. Seja $f:I\rightarrow\R$ de classe $C^\infty$. Suponha que existe $K>0$ tal que $|f^{(n)}(x)|\leq K$ para todo $x\in I$ e $n\geq 0$. Demonstre que $$ f(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i $$ para todo $x,\ x_0\in I$.
