Exercícios: Funções contínuas

$\newcommand{\N}{\mathbb N}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$ $\newcommand{\R}{\mathbb R}$

1. Considere as seguintes funções. Determine para cada função $f$ os pontos do seu domínio nos quais $f$ é contínua.

1. $f:\R\rightarrow \R$, $f(x)=x^k$ onde $k\in\N$;
2. $f:\{x\in \R\mid x\geq 0\}\rightarrow \R$, $f(x)=x^{1/2}$;
3. $f:\R\rightarrow \R$, $f(x)=\lfloor x\rfloor$ onde $\lfloor x \rfloor$ é o maior inteiro que não é maior que $x$;
4. $f:\R\rightarrow \R$, $f(x)=x-\lfloor x \rfloor$;
5. $f:]0,1[\rightarrow \R$, $f(x)=1/x$.

2. Determine quais das funções no Exercício 1 são uniformemente contínuas. Para cada $f$ que não é uniformemente contínua, ache um par $(a_n)$, $(b_n)$ de sequências tal que $a_n,\ b_n$ são elementos do domínio de $f$, $a_n-b_n\rightarrow 0$, mas $f(a_n)-f(b_n)\not\rightarrow 0$.

3. Seja $f:\R\rightarrow\R$ uma função. Demonstre que as seguintes afirmações são equivalentes:

1. $f$ é contínua;
2. para todo conjunto $X\subseteq \R$ aberto, $f^{-1}(X)$ é aberto;
3. para todo conjunto $X\subseteq \R$ fechado, $f^{-1}(X)$ é fechado.

4. Seja $I$ um intervalo e seja $f:I\rightarrow\R$ uma função monótona tal que $f(I)$ é um intervalo. Demonstre que $f$ é contínua.

5. Seja $f:[0,1]\rightarrow \R$ contínua tal que $f(0)=f(1)$. Demonstre que existe $x\in[0,1/2]$ tal que $f(x)=f(x+1/2)$.

6. Uma função $f:X\rightarrow\R$ é dita lipschitziana se existe uma constante $k >0$ tal que $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|$ para todo $x,\ y\in X$. Demonstre que uma função lipschitziana é uniformemente contínua, mas existem funções uniformemente contínuas que não são lipschitzianas.

7. Sejam $f,g:X\subseteq\R\rightarrow\R$ duas funções uniformemente contínuas. Demonstre as seguintes afirmações:

1. $f(x)+g(x)$ é uniformemente contínua;
2. se $f(x)$ e $g(x)$ são limitadas, então $f(x)g(x)$ é uniformemente contínua;
3. $x\mapsto\min\{f(x),g(x)\}$ e $x\mapsto\max\{f(x),g(x)\}$ são uniformemente contínuas.
4. dê exemplo para mostrar que a condição que $f(x)$ e $g(x)$ são limitadas é necessária em item 2.

Seja $f:[a,\infty]\rightarrow\R$ uma função. Dizemos que $f(x)$ possui limite em $\infty$ se existir $L\in\R$ tal que para todo $\varepsilon>0$ existe $A\geq a$ tal que $|f(x)-L|\leq\varepsilon$ sempre que $x\geq A$. Neste caso escreve-se que $\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)=L$. O limite de uma função em $-\infty$ pode ser definida analogamente.

8. Seja $f:\R\rightarrow\R$ uma função contínua tal que existem os limites $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)$ e $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$. Mostre que $f(x)$ é uniformemente contínua.