$\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\A}{\mathcal A}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$Teorema (Darboux). Assuma que $f:[a,b]\rightarrow\R$ é uma função derivável e $d\in\R$ tal que $f'(a)<d<f'(b)$. Então existe $c\in(a,b)$ tal que $f'(c)=d$.
Demonstração. Assuma primeiro que $d=0$. A função $f$ é contínua e atinge seu valor mínimo em um ponto $c\in[a,b]$. Como $f'(a)<0$ e $f'(b)>0$, temos que $c\neq a$ e $c\neq b$. Logo $c\in(a,b)$. Neste caso um teorema anterior implica que $f'(c)=0$.
Assuma agora que $d\neq 0$. Neste caso considere a função $g:[a,b]\rightarrow\R$, $g(x)=f(x)-dx$. Temos que $g(x)$ é derivável e que $g'(x)=f'(x)-d$, então $g(x)$ satisfaz, $g'(a)<0<g'(b)$. Pelo argumento no parágrafo anterior, existe $c\in (a,b)$ tal que $g'(c)=0$ que implica que $f'(c)=d$.
Teorema (Rolle). Seja $f:[a,b]\rightarrow\R$ uma função contínua. Se $f(x)$ for derivável em $(a,b)$ e $f(a)=f(b)$, então existe $c\in(a,b)$ tal que $f'(c)=0$.
Demonstração. Por um teorema anterior, $f(x)$ atinge seu mínimo $m$ e máximo $M$ em $[a,b]$. Um destes pontos precisa ser diferente de $a$ ou $b$, pois no caso contrário $f(x)$ seria constante, e neste caso $f'(c)=0$ vale para todo $c\in(a,b)$. Se, digamos, $m\in(a,b)$, então $f'(c)=0$.
Teorema (Teorema do Valor Médio de Lagrange). Seja $f:[a,b]\rightarrow\R$ uma função contínua e derivável em $(a,b)$. Existe $c\in(a,b)$ tal que $f'(c)=(f(a)-f(b))/(a-b)$.
Demonstração. Defina $g:[a,b]\rightarrow\R$ pondo $g(x)=f(x)-dx$ onde $d=(f(a)-f(b))/(a-b)$. Note que $g(a)=g(b)$. Pelo Teorema de Rolle, existe $c\in(a,b)$ tal que $g'(c)=0$. Logo $f'(c)=d=(f(a)-f(b))/(a-b)$,
Corolário. Seja $f:I\rightarrow \R$ uma função contínua e derivável para todo ponto interno $a$ de $I$. Se $f'(x)=0$ para todo ponto interno $x\in I$, então $f(x)$ é constante.
Demonstração. Dados $x,y\in I$, existe $c\in(x,y)$ tal que $0=f'(c)=(f(x)-f(y))/(x-y)$. Portanto $f(x)=f(y)$.
