$\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\A}{\mathcal A}$Seja $X\subseteq\R$ um conjunto, $f:X\rightarrow\R$ uma função, e $a\in X$. Dizemos que a função $f$ é contínua no ponto $a$ se para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(a)|\leq\varepsilon$ sempre que $|x-a|\leq\delta$.
Uma função $f:X\subseteq\R\rightarrow\R$ é dito contínua (em $X$) se $f(x)$ for contínua no ponto $a$ para todo $a\in X$.
Lema. Seja $f:X\subseteq\R\rightarrow\R$ uma função e $a\in X\cap X’$. As seguintes são equivalentes.
- $f(x)$ é contínua em $a$;
- existe o $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ e é igual a $f(a)$.
Lema. Se $f$ é contínua no ponto $a$, então existem $A>0$ e $\delta>0$ tal que $|f(x)|\leq A$ para todo $x\in X\cap (a-\delta,a+\delta)$.
Lema. Sejam $f,g,h:X\rightarrow\R$ e $a\in X$ tais que $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ para todo $x\in X$. Assuma que $f(x)$ e $h(x)$ são contínuas no ponto $a$ e que $f(a)=h(a)$. Então $g(x)$ é contínua em $a$.
Lema. Sejam $f,g:X\rightarrow\R$ e $a\in X$ tais que $f(x)$ e $g(x)$ são contínuas em $a$ e $f(a)<g(a)$. Então existe $\delta>0$ tal que $f(x)< g(x)$ para todo $x\in X\cap(a-\delta,a+\delta)$.
Corolário. Seja $f:X\rightarrow\R$ e $a\in X$. Se $f(x)$ é contínua em $a$ e $f(a)>0$, então existe $\delta>0$ tal que $f(x)> 0$ para todo $x\in X\cap(a-\delta,a+\delta)$.
Corolário. Sejam $X\subseteq\R$, $a\in X$, e $f,g:X\rightarrow\R$ tais que $f(x)\leq g(x)$ para todo $x\in X$ e assuma ainda que $f(x)$ e $g(x)$ são contínuas em $a$. Tem-se que $f(a)\leq g(a)$.
Teorema. Sejam $X\subseteq\R$, $a\in X$ e $f:X\rightarrow\R$ uma função. As seguintes são equivalentes.
- $f(x)$ é contínua em $a$;
- se $(x_n)$ é uma sequência tal que $x_n\in X$ e $x_n\rightarrow a$ então $f(x_n)\rightarrow f(a)$;
- se $(x_n)$ é uma sequência tal que $x_n\in X$ e $x_n\rightarrow a$ então $f(x_n)$ é convergente.
Teorema. Sejam $f,g:X\subseteq\R\rightarrow\R$ funções, $a\in X$. Assuma que $f(x)$ e $g(x)$ são contínuas em $a$. Então as funções $f(x)+g(x)$, $f(x)g(x)$, $\alpha f(x)$ (com $\alpha\in\R$) são contínuas em $a$. Se $g(x)\neq 0$ para $x\in X$, então $f(x)/g(x)$ é contínua em $a$.
Teorema. Sejam $X,Y\subseteq\R$, $f:X\rightarrow Y$, $g:Y\rightarrow\R$ funções, $a\in X$, $b\in Y$ e assuma que $f(x)$ é contínua em $a$ e que $g(x)$ é contínua em $b=f(a)$. Então $g\circ f$ é contínua em $a$.
