$\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\A}{\mathcal A}$
1. Seja $(x_n)$ uma sequência de números reais e seja $a\in\R$. Mostre que as seguintes são equivalentes.
- $x_n\rightarrow a$;
- para todo conjunto $X\subseteq \R$ aberto tal que $a\in X$ existe $N\in\N^+$ tal que $x_n\in X$ para todo $n\geq N$.
2. Sejam $A,\ B\subseteq \R$ conjuntos abertos. Mostre que
$$
A+B=\{a+b\mid a\in A,\ b\in B\}
$$
e
$$
A\cdot B=\{ab\mid a\in A,\ b\in B\}
$$
são abertos.
3. Sejam $X,Y\subseteq \R$ conjuntos fechados disjuntos tais que $X\cup Y$ é um intervalo fechado. Mostre que $X=\emptyset$ ou $Y=\emptyset$.
4. Seja $\alpha\in\R\setminus\Q$. Mostre que $\Z$ e $\alpha\Z$ são fechados, mas $\Z+\alpha\Z$ não é fechado.
5. Demonstre as seguintes afirmações para conjuntos $A,B\subseteq \R$.
- Se $A$ é compacto e $B$ é fechado, então $A+B$ é fechado.
- Se $A$ e $B$ são compactos, então $A+B$ e $A\cdot B$ são compactos.
- Se $A$ é compacto e $B$ é fechado, então pode ser que $AB$ não é fechado.
6. Demonstre que $(X\cup Y)’=X’\cup Y’$ para todo $X,Y\subseteq \R$.
7. Demonstre que se $X\subseteq \R$ é um conjunto limitado superiormente, então $\overline X$ também é.
8. Seja $\mbox{int}(X)$ o conjunto de pontos interiores de um conjunto $X\subseteq \R$. Mostre, para todo $X,Y\subseteq \R$, que $\mbox{int}(X\cap Y)=\mbox{int}(X)\cap \mbox{int}(Y)$ e $\mbox{int}(X\cup Y)\supseteq \mbox{int}(X)\cup \mbox{int}(Y)$. Mostre que a segunda desigualdade pode ser própria.
