14  Carateres de um grupo e a ordem generalizada

Neste projeto vamos ver como trabalhar com carateres de grupos e vamos resolver um problema relacionado com a ordem generalizada de elementos (veja o artigo para a teoria mais detalhada).

14.1 A ordem generalizada

Seja \(G\) um grupo e \(x\in G\). A ordem generalizada \([x]\) de \(x\) é o menor número natural \(k\) tal que a identidade \(1\) de \(G\) pode ser escrita como um produto de \(k\) conjugados de \(x\). Ou seja, \([x]\) é o menor natural \(k\) tal que \[ x^{g_1}\cdots x^{g_k}=1 \] com algum \(g_1,\ldots,g_k\in G\).

Teorema 14.1 Seja \(G\) um grupo finito, seja \(g\in G\) e sejam \(\chi_1,\ldots,\chi_m\) os carateres irredutíveis de \(G\). Defina, para \(k\geq 1\), \[ \alpha_{g,k}=\frac {|G|^{k-1}}{|C_G(g)|^k}\sum_{i=1}^m\frac{\chi_i(g)^k}{\chi_i(1)^{k-2}}. \tag{14.1}\] Então \(\alpha_{g,k}\) é um número natural e ele é igual ao número de maneiras de escrever a identidade \(1\) de \(G\) como produto de conjugados de \(g\). Em particular, \[ [g]=\min\{k\geq 1\mid \alpha_{g,k}\geq 1\}. \]

14.2 Carateres em GAP

Vamos ver primeiro como trabalhar com carateres em GAP. Seja \(G\) um grupo finito e seja \(\varrho:G\to \operatorname{GL}(n,\mathbb C)\) um homomorfismo. O homomorfismo \(\varrho\) chama-se também uma representação linear de \(G\). O carater associado com \(\varrho\) é \[ \chi:G\to\mathbb C,\quad \chi(g)=\mbox{trace}(\varrho(g)). \] Note que \(\mbox{trace}\) significa o traço da matriz \(\varrho(g)\); ou seja, a soma dos elementos na diagonal principal. É bem conhecido que o caracter carrega muita informação sobre \(\varrho\).

Em GAP, carateres podem ser calculados na seguinte maneira. Note que estamos interessados principalmente nos carateres que correspondem às representações irredutíveis.

gap> G := SmallGroup( 24, 10 );
<pc group of size 24 with 4 generators>
gap> t := CharacterTable( G );
CharacterTable( <pc group of size 24 with 4 generators> )
gap> irr := Irr( t );
[ Character( CharacterTable( <pc group of size 24 with 4 generators> ),
  [ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ] ), 
  Character( CharacterTable( <pc group of size 24 with 4 generators> ),
  [ 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1 ] ), 
...etc...
gap> irr[3];
Character( CharacterTable( <pc group of size 24 with 4 generators> ),
 [ 1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1 ] )

Vamos calcular a ordem generalizada de um elemento do grupo dihedral \(D_8\), usando a equação Equação 14.1.

gap> D8 := DihedralGroup( 8 );
<pc group of size 8 with 3 generators>
gap> t := CharacterTable( D8 );
CharacterTable( <pc group of size 8 with 3 generators> )
gap> OrdersClassRepresentatives( t );
[ 1, 2, 4, 2, 2 ]
gap> irr := Irr( t );
[ Character( CharacterTable( <pc group of size 8 with 3 generators> ),
  [ 1, 1, 1, 1, 1 ] ), Character( CharacterTable( <pc group of size 8 with 
    3 generators> ), [ 1, -1, 1, 1, -1 ] ), 
  Character( CharacterTable( <pc group of size 8 with 3 generators> ),
  [ 1, 1, -1, 1, -1 ] ), Character( CharacterTable( <pc group of size 8 with 
    3 generators> ), [ 1, -1, -1, 1, 1 ] ), 
  Character( CharacterTable( <pc group of size 8 with 3 generators> ),
  [ 2, 0, 0, -2, 0 ] ) ]
gap> k := 1;; Sum( List( irr, x->x[3]^k/x[1]^(k-2) ));
0
gap> k := 2;; Sum( List( irr, x->x[3]^k/x[1]^(k-2) ));
4

Note que obtemos que o ordem generalizada de \(a\) é \(2\). Note que a ordem do mesmo elemento é \(4\).

14.3 Tarefa 1

  1. Escreva uma função generalized_order( G, i ) que dado um grupo \(G\) e \(i\geq 1\), devolve a ordem generalizada de um elemento na \(i\)-ésima classe de conjugação de \(G\) usando a equação Equação 14.1.
  2. Escreva uma função generalized_orders( G ) que calcula a lista das ordens generalizadas das classes de conjugação de \(G\).

O resultado do seu código deve seguir os seguintes exemplos.

gap> generalized_order( SymmetricGroup( 5 ), 2 );
2
gap> generalized_order( SmallGroup( 18, 3 ), 2 );
2
gap> generalized_order( SmallGroup( 18, 3 ), 5 );
6
gap> generalized_orders( AlternatingGroup( 5 ));
[ 1, 2, 2, 2, 2 ]
gap> generalized_orders( AlternatingGroup( 7 ));
[ 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3 ]

Calcule a soma na equação Equação 14.1 para todo \(k\) até ela vira não nula. Usa o laço repeat (Seção 5.4).

14.4 Tarefa 2

  1. Usando as funções na tarefa anterior, ache um grupo \(G\) que possui elemento \(x\in G\) tal que \([x]\) não é divisor de \(|G|\).
  2. Ache um grupo \(G\) que possui um elemento \(x\in G\) tal que \([x]\) é coprimo com \(|G|\).
  3. Ache um grupo \(G\) que possui um elemento \(x\in G\) tal que \([x]\) é um primo \(p\) tal que \(p\nmid |G|\).

Escreva uma função para cada um dos itens nesta tarefa. A função deve devolver true se o grupo sataisfaz a condição procurada, e false caso contrário. Use Filtered sobre AllSmallGroups( Size, list ) (veja a Seção 3.1).