Seja $G$ um grupo e $H\leq G$ (subgrupo de $G$). Se $g\in G$, então o conjunto
\[
gH=\{gh\mid h\in H\}
\]
é chamado de classe lateral à esquerda (de $H$ em $G$). O conjunto
\[
Hg=\{hg\mid h\in H\}
\]
é chamado de classe lateral à direita (de $H$ em $G$).
Exemplo. Seja $G=S_3$ e seja $H=\{1,(1,2)\}$. Então temos as seguintes classes laterais:
\begin{eqnarray*}
H\cdot 1&=&H(1,2)=H=\{1,(1,2)\};\\
H(1,3)&=&H(1,2,3)=\{(1,3),(1,2,3)\};\\
H(2,3)&=&H(1,3,2)=\{(2,3),(1,3,2)\};\\
1H&=&(1,2)H=H=\{1,(1,2)\};\\
(1,3)H&=&(1,3,2)H=\{(1,3),(1,3,2)\};\\
(2,3)H&=&(1,2,3)H=\{(2,3),(1,2,3)\}.
\end{eqnarray*}
Portanto, $H$ tem três classes laterais à direita e três classes laterais à esquerda.
No seguinte lema, vamos enunciar algumas propriedades das classes laterais. Nós vamos tratar apenas classes laterais à direita, propriedades análogas podem ser verificadas para classes laterais à esquerda.
Lema. As seguintes afirmações são verdadeiras para um subgrupo $H\leq G$ e para $g,g_1,g_2\in G$:
- $Hg\subseteq G$;
- se $g_1,g_2\in G$, então $Hg_1=Hg_2$ se e somente se $g_1g_2^{-1}\in H$; em particular $Hg=H$ se e somente se $g\in H$.
- $|Hg|=|H|$;
- $H(g_1g_2)=(Hg_1)g_2$;
- se $g_1,g_2\in G$ tais que $Hg_1\cap Hg_2\neq \emptyset$, então $Hg_1=Hg_2$.
Demonstração: Itens 1., 2., e 4. serão exercícios.
3. Defina $\psi:H\to Hg$, como $\psi(h)=hg$. Então $\psi$ é sobrejetivo pela definição de $Hg$. Se $\psi(h_1)=\psi(h_2)$, então $h_1g=h_2g$, que implica que $h_1=h_2$. Portanto $\psi$ é injetivo, e em particular $\psi$ é uma bijeção entre $H$ e $Hg$. Isto implica que $|H|=|Hg|$.
5. Assuma que $x\in Hg_1\cap Hg_2$. Portanto $x=h_1g_1=h_2g_2$ com $h_1,h_2\in H$. Isto implica que $h_2^{-1}h_1=g_2g_1^{-1}$ e em particular que $g_2g_1^{-1}\in H$. Ora, item 2. implica que $Hg_2=Hg_1$.
Se $H\leq G$, então o lema anterior implica que as classes laterais $Hg$ à direita (ou à esquerda) formam uma partição do conjunto $G$. Além disso, cada classe lateral tem a mesma cardinalidade (igual à cardinalidade de $H$). Assuma $G$ é finito e que $Hg_1,\ldots,Hg_k$ são as classes laterais distintas de $H$. Temos que
\[
G=Hg_1\cup \cdots\cup Hg_k
\]
onde a união é disjunta. Portanto
\[
|G|=|Hg_1|+\cdots+|Hg_k|=|H|+\cdots+|H|=k|H|.
\]
Assim obtemos o Teorema de Lagrange.
Teorema (Lagrange). Seja $G$ um grupo finito e $H$ um subgrupo de $G$. Então $|H|$ é um divisor de $|G|$.
O quociente $|G|/|H|$ é igual ao número de classes laterais à direita (ou à esquerda) de $H$ em $G$ e é chamado de índice de $H$ em $G$.