$\newcommand{\F}{\mathbb F}\newcommand{\K}{\mathbb K}\newcommand{\E}{\mathbb E}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\C}{\mathbb C}\newcommand{\fix}[1]{\mbox{Fix}(#1)}\newcommand{\gal}[2]{\mbox{Gal}(#1:#2)}\newcommand{\aut}[1]{\mbox{Aut}(#1)}$Nós enunciaremos o teorema para corpos de caraterística zero, mas ressaltamos que o teorema é válido com condições mais gerais.
Seja $\E:\F$ uma extensão de corpos de caraterística zero. Dizemos que a extensão é normal se $\E$ é corpo de decomposição de um polinômio sobre $\F$.
O seguinte teorema será enunciado sem demonstração, embora a demonstração não seja difícil.
Teorema. Seja $\E:\F$ uma extensão normal e seja $f(x)\in\F[x]$ um polinômio irredutível. Se $f(x)$ possui uma raiz em $\E$, então $f(x)$ se decompõe como produto de polinômios lineares de $\E[x]$.
Teorema Fundamental da Teoria de Galois. Seja $\E:\F$ uma extensão normal de corpos de caraterística zero. Seja $\K$ um subcorpo de $\E$ tal que $\F\subseteq\K$.
- $\E:\K$ é uma extensão normal e $\gal\E\K$ é um subgrupo de $\gal\E\F$.
- $\mbox{Fix}\, \gal\E\K=\K$.
- A extensão $\K:\F$ é normal se e somente se $\gal\E\K$ é um subgrupo normal de $\gal\E\F$. Neste caso $\gal\K\F\cong \gal\E\F/\gal\E\K$.
- O mapa $\mbox{Gal}$ é uma bijeção do conjunto de corpos $\K$ tais que $\F\subseteq\K\subseteq\E$ para o conjunto de subgrupos de $\gal\E\F$. Esta bijeção preserva normalidade (de subgrupos e extensões) e reverte inclusão no sentido que $\K_1\subseteq \K_2$ se e somente se $\gal\E{\K_1}\supseteq\gal\E{\K_2}$.
Infelizmente, a demonstração do Teorema não cabe no calendário do semestre, mas vamos fazer dois exemplos para ilustrar a correspondência.
Exemplo. Seja $\E$ o corpo de decomposição do polinômio $x^3-2\in\Q[x]$ e considere a extensão $\E:\Q$. Esta extensão é normal. As raízes do polinômio são $\sqrt[3]2$, $\xi\sqrt[3]2$ e $\xi^2\sqrt[3]2$ onde $\xi=\exp(2\pi i/3)$ é uma terceira raíz da unidade. Como $\E$ é gerado por estas raízes sobre $\Q$, temos que
\[
\E=\Q(\sqrt[3]2, \xi\sqrt[3]2,\xi^2\sqrt[3]2)=\Q(\sqrt[3]2, \xi).
\]
Além disso, $m_{\sqrt[3]2}(x)=x^3-2$ e $m_{\xi}(x)=x^2+x+1$ e temos que
\[
\dim_\Q\E=\dim_\Q\Q(\sqrt[3]2)\cdot\dim_{\Q(\sqrt[3]2)}\E=3\cdot 2=6.
\]
Por um teorema que provamos na aula anterior, segue que $|\gal\E\F|=6$.
Se $\varphi\in\gal\E\Q$, então $\varphi$ está determinado pelas imagens $\varphi(\sqrt[3]2)$ e $\varphi(\xi)$. Note que $\sqrt[3]2$ e $\xi$ são raízes dos polinômios irredutíveis $x^3-2$ e $x^2+x+1$ (respetivamente), então $\varphi(\sqrt[3]2)$ e $\varphi(\xi)$ precisam ser raízes do mesmo polinômio. Temos então que
\[
\varphi(\sqrt[3]2)\in\{\sqrt[3]2,\xi\sqrt[3]2,\xi^2\sqrt[3]2\}\quad\mbox{e}\quad \varphi(\xi)\in\{\xi,\xi^2\}.
\]
Isso dá seis possibilidades para o automorfismo $\varphi$ e como já deduzimos que $|\gal\E\Q|=6$, todas destas possibilidades precisam resultar em um elemento de $\gal\E\F$. Na verdade, todo elemento de $\gal\E\F$ induz uma permutação do conjunto $R=\{\sqrt[3]2, \xi\sqrt[3]2,\xi^2\sqrt[3]2\}$ das raízes do polinômio $x^3-2$ e convêm considerar $\gal\E\Q$ como um grupo de permutações de $R$. Como $|R|=3$, toda permutação das três raízes resulta em um elemento de $\gal\E\F$. Em particular $\gal\E\F\cong\mbox{Sym}\,R\cong S_3$.
Na seguinte tabela, nós apresentamos explicitamente a correspondência entre os subgrupos de $\mbox{Sym}\,R$ e os subcorpos de $\E$.
| subgrupo | subcorpo | normal? |
|---|---|---|
| $\{1\}$ | $\E=\Q(\xi,\sqrt[3]2)$ | sim |
| $\langle(\sqrt[3]2,\xi\sqrt[3]2)\rangle$ | $\Q(\xi^2\sqrt[3]2)$ | não |
| $\langle(\sqrt[3]2,\xi^2\sqrt[3]2)\rangle$ | $\Q(\xi\sqrt[3]2)$ | não |
| $\langle(\xi\sqrt[3]2,\xi^2\sqrt[3]2)\rangle$ | $\Q(\sqrt[3]2)$ | não |
| $\langle(\sqrt[3]2,\xi\sqrt[3]2,\xi^2\sqrt[3]2)\rangle$ | $\Q(\xi)$ | sim |
| $S_3$ | $\Q$ | sim |
Exemplo. Considere o corpo de decomposição $\E$ do polinômio $x^4-2$ sobre $\Q$. Similarmente ao exemplo anterior, temos que
\[
\E=\Q(\sqrt[4]2,i)
\]
e
\[
\dim_\Q\E=\dim_\Q\Q(\sqrt[4]2)\cdot\dim_{\Q(\sqrt[4]2)}\E=4\cdot 2=8
\]
que implica que $|\gal\E\Q|=8$. Além disso, um elemento $\varphi\in\gal\E\Q$ é determinado pelas imagens
\[
\varphi(\sqrt[4]2)\in\{\sqrt[4]2,-\sqrt[4]2,i\sqrt[4]2,-i\sqrt[4]2\}\quad\mbox{e}\quad
\varphi(i)\in\{i,-i\}.
\]
Há oito opções na linha anterior, e o fato que $|\gal\E\Q|=8$ implica que todas destas opções resultam em um automorfismo de $\gal\E\Q$. Como no exemplo anterior, convêm considerar os elementos de $\gal\E\Q$ como permutações do conjunto $R=\{\sqrt[4]2,-\sqrt[4]2,i\sqrt[4]2,-i\sqrt[4]2\}$ das raízes de $x^4-2$. Os automorfismos
\[
\varphi_1:\sqrt[4]2\mapsto i\sqrt[4]2,\ i\mapsto i\quad\mbox{e}\quad\varphi_2:\sqrt[4]2\mapsto \sqrt[4]2,\ i\mapsto -i
\]
correspondem às permutações
\[
a=(\sqrt[4]2,i\sqrt[4]2,-\sqrt[4]2,-i\sqrt[4]2)\quad\mbox{e}\quad b=(i\sqrt[4]2,-i\sqrt[4]2)
\]
e estas duas permutações geram um subgrupo de $S_4$ isomorfo a $D_4$.
Na seguinte tabela, nós apresentamos explicitamente a correspondência entre os subgrupos de $\mbox{Sym}\,R$ e os subcorpos de $\E$.
| subgrupo de $\gal\E\Q$ | subcorpo de $\E$ | normal? |
|---|---|---|
| $\{1\}$ | $\E=\Q(\sqrt[4]2,i)$ | sim |
| $\langle b\rangle$ | $\Q(\sqrt[4]2)$ | não |
| $\langle a^2b\rangle$ | $\Q(i\sqrt[4]2)$ | não |
| $\langle a^2\rangle$ | $\Q(\sqrt 2,i)$ | sim |
| $\langle ab\rangle$ | $\Q((1+i)\sqrt[4]2)$ | não |
| $\langle a^3b\rangle$ | $\Q((1-i)\sqrt[4]2)$ | não |
| $\langle a^2,b\rangle$ | $\Q(\sqrt 2)$ | sim |
| $\langle a\rangle$ | $\Q(i)$ | sim |
| $\langle a^2,ab\rangle$ | $\Q(i\sqrt 2)$ | sim |
| $D_4$ | $\Q$ | sim |