O grupo alternado

$\newcommand{\Q}{\mathbb Q}$Seja $n$ um número natural e considere o grupo simétrico $S_n$. O grupo $S_n$ age sobre o a conjunto $\Q[x_1,\ldots,x_n]$ de polinômios permutando as variáveis. Considere o polinômio
\[
\Psi=\Psi(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{1\leq i<j\leq n} (x_i-x_j).
\]
Se $\sigma\in S_n$, então $\Psi \sigma\in\{\Psi,-\Psi\}$; ou seja, a órbita de $\Psi$ contém apenas dois elementos, nomeadamente $\Psi$ e $-\Psi$.

Uma permutação $\sigma\in S_n$ é dita par se $\Psi\sigma=\Psi$; caso contrário ela é dita ímpar. O conjunto $A_n$ das permutações pares é o estabilizador de $\Psi$ pela ação de $S_n$ sobre $\Q[x_1,\ldots,x_n]$ e portanto é um subgrupo de $S_n$. Este grupo chama-se grupo alternado de grau $n$. Além disso,
\[
|S_n:A_n|=|\Psi S_n|=2
\]
e em particular $A_n$ é um subgrupo normal em $S_n$. Note que
\[
|A_n|=|S_n|/2=n!/2.
\]

Exercício. Mostre, para  $\sigma\in S_n$, que $\sigma\in A_n$ se e somente se
\[
|\{(i,j)\mid 1\leq i<j\leq n \mbox{ tais que }\ i\sigma > j\sigma\}|
\]
é um número par.

As seguintes afirmações nos ajudam determinar se uma permutação particular é par ou ímpar.

Lema. Seja $n$ um número natural com $n\geq 3$ e sejam $\sigma,\pi$ elementos de $S_n$.

  1. Se $\sigma,\pi\in A_n$, então $\sigma\pi\in A_n$.
  2. Se $\sigma,\pi\in S_n\setminus A_n$, então $\sigma\pi\in A_n$.
  3. Se $\sigma\in A_n$ e $\pi\in S_n\setminus A_n$, então $\sigma\pi,\pi\sigma\in S_n\setminus A_n$.
  4. Se $1\leq a< b\leq n$, então $(a,b)\not\in A_n$.
  5. Um ciclo de comprimento $m$ é par se e somente se $m$ é ímpar.

Demonstração. Afirmações 1-3 são consequências imediatas da definição.

4. Como $A_n$ é normal em $S_n$, ele é fechado para conjugação e é suficiente mostrar esta afirmação para $\sigma=(1,2)$. Note que
\begin{eqnarray*}
\Psi\sigma&=&\left[\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)\right]\sigma\\&=&\left[(x_1-x_2)\prod_{i=3}^n(x_1-x_i)\prod_{i=3}^n(x_2-x_i)\prod_{3\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)\right]\sigma\\&=&
(x_2-x_1)\prod_{i=3}^n(x_2-x_i)\prod_{i=3}^n(x_1-x_i)\prod_{3\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)\\
&=&-\Psi.
\end{eqnarray*}

5. Como no item anterior, basta provar esta afirmação para o ciclo $\sigma=(1,2,\ldots,m)$. Note que
\[
\sigma=(1,2,\ldots,m)=(1,2)(1,3)\cdots(1,m).
\]
Portanto $\sigma=(1,2,\ldots,m)$ é um produto de $m-1$ ciclos de comprimento 2. Combinando os itens anteriores, temos que $\sigma\in A_n$ se e somente se $m$ é ímpar.

Um grupo $G\neq\{1\}$ chama-se simples se $G$ não possui subgrupo normal além dos subgrupos $\{1\}$ e $G$.

Exercício. Seja $G$ um grupo abeliano. Mostre que $G$ é simples se e somente se $G$ é um grupo cíclico de ordem prima.

Teorema. Se $n=3$ ou se $n\geq 5$, então o grupo alternado $A_n$ é simples.

Demonstração. Note que $A_3=\left<(1,2,3)\right>$ então $A_3$ é um grupo cíclico de ordem três, portanto simples.

O grupo $\left<(1,2)(3,4),(1,3)(2,4)\right>$ é normal em $A_4$, então $A_4$ não é simples.

Nós vamos provar a afirmação do teorema apenas quando $n=5$. O caso $n\geq 6$ pode ser feito por indução, mas nós não vamos fazer isso nesta disciplina.

Primeiro, determinemos as classes de conjugação de $A_5$. Lembre que as classes de conjugação de $S_5$ foram determinadas na aula anterior. Para determinar as classes de $A_5$, vamos primeiro fazer as seguintes observações. Seja $C$ uma classe de conjugação de $S_5$ e seja $\sigma\in C$.

  1. Como $A_5\unlhd S_5$, a classe $C$ ou é contido em $A_5$ ou está completamente fora de $A_5$ (ou seja, $C\cap A_5=\emptyset$).
  2. Se $C\subseteq A_5$, então $C$ é uma união de classes de conjugação de $A_5$.
  3. Assuma que $C\subseteq A_5$. Note que
    \[
    C_{A_5}(\sigma)=A_5\cap C_{S_5}(\sigma).
    \]
  4. Se $C_{S_5}(\sigma)\leq A_5$, então $C_{S_5}(\sigma)=C_{A_5}(\sigma)$ e
    \[
    |\sigma^{A_5}|=|A_5:C_{A_5}(\sigma)|=|S_5:C_{S_5}(\sigma)|/2=|\sigma^{S_5}|/2.
    \]
    Ou seja, neste caso, a $S_5$-classe $C$ é uma união de duas $A_5$-classes $C’$ e $C”$.
  5. Se $C_{S_5}(\sigma)\not\leq A_5$, então $C_{S_5}(\sigma)A_5=S_5$ e
    \[
    |S_5|=\frac{|C_{S_5}(\sigma)||A_5|}{|C_{S_5}(\sigma)\cap A_5|}=\frac{|C_{S_5}(\sigma)||A_5|}{|C_{A_5}(\sigma)|}
    \]
    e isto implica que $|C_{A_5}(\sigma)|=|C_{S_5}(\sigma)|/2$. Portanto
    \[
    |\sigma^{A_5}|=|A_5:C_{A_5}(\sigma)|=|S_5:C_{S_5}(\sigma)|=|\sigma^{S_5}|.
    \]
    Ou seja, neste caso, a $S_5$-classe $C$ será uma classe em $A_5$.

Agora usando a tabela das classes na aula anterior e estas observações, é possível obter uma tabela das classes de conjugação de $A_5$.

Representante #classe #centralizador geradores do centralizador
1 1 60 $(1,2,3)$, $(1,2,3,4,5)$
$(1,2)(3,4)$ 15 4 $(1,3)(2,4)$, $(1,4)(2,3)$
$(1,2,3)$ 20 3 $(1,2,3)$,
$(1,2,3,4,5)$ 12 5 $(1,2,3,4,5)$
$(1,2,3,5,4)$ 12 5 $(1,2,3,5,4)$

Seja $N$ um subgrupo normal de $A_5$. Então temos que $|N|\mid 60$ e $N$ é uma união de classes de conjugação contendo a classe $\{1\}$. Portanto
\[
|N|=1+\alpha_1\cdot 15+\alpha_2\cdot 20+\alpha_3\cdot 12
\]
onde $\alpha_1,\alpha_2\in\{0,1\}$ e $\alpha_3\in\{0,1,2\}$. Uma consideração fácil mostra que as únicas possibilidades para $|N|$ são $|N|=1$ ou $|N|=60$. Portanto $A_5$ não possui subgrupo normal difrente de $\{1\}$ ou $A_n$.

Na verdade, os grupos não abelianos simples são bastante complicados. Um projeto para obter uma classificação dos grupos simples finitos foi iniciado nos anos 1950. O resultado foi anunciado em 1979, mas partes da demonstração foram publicadas apenas no início dos anos 2000. O teorema da classificação afirma o seguinte.

Teorema. Os grupos simples finitos são

  1. os grupos cíclicos de ordem prima;
  2. os grupos alternados $A_n$ com $n\geq 5$;
  3. os grupos finitos de tipo Lie definidos sobre um corpo finito;
  4. os 26 grupos esporádicos.

Um exemplo de um grupo simples de tipo Lie é $PSL(n,q)=SL(n,q)/Z$ onde $Z$ é o centro de $SL(n,q)$. Pode se provar, para $n\geq 2$, que $PSL(n,q)$ é simples a menos que $(n,q)\in\{(2,2),(2,3)\}$.

A demonstração do teorema de classificação é extremamente profunda e, se fosse escrita em um único documento, ocuparia cerca de 10 mil páginas.