1. Construa corpos finitos com $4$, $8$, e $9$ elementos. Para cada corpo construído escreva as tabelas de adição e multiplicação.
2. Mostre que todo ideal de $\mathbb Z$ é principal, mas isso não é verdade para $\mathbb Z[x]$.
3. Seja $\mathbb F$ um corpo, $f(x)\in\mathbb F[x]$ e $\alpha\in\mathbb F$. Mostre que $\alpha$ é uma raiz de $f(x)$ se e somente se $(x-\alpha)\mid f(x)$.
4. Sejam $R$ e $S$ anéis (comutativos com identidade). Uma aplicação $\alpha:R\to S$ é dito homomorfismo se
\begin{eqnarray*}
\alpha(a+b)&=&\alpha(a)+\alpha(b);\\
\alpha(ab)&=&\alpha(a)\alpha(b);\\
\alpha(1_R)&=&1_S.
\end{eqnarray*}
A pré-imagem $\alpha^{-1}(\{0\})$ chama-se o núcleo de $\alpha$ e é denotada por $\ker \alpha$. Mostre que $\ker\alpha$ é um ideal de $R$.
5. Seja $f(x)\in\mathbb F[x]$ e $\alpha\in\mathbb F$. O elemento $\alpha$ é dito raíz múltipla de $f(x)$ se $(x-\alpha)^2\mid f(x)$. Mostre que $\alpha$ é raíz múltipla se e somente se $(x-\alpha)\mid \mbox{mdc}(f(x),f'(x))$ onde $f'(x)$ é o derivado de $f(x)$.
6. Seja $\mathbb F$ um corpo e defina
\[
I=\{\alpha_0+\alpha_1 x+\cdots+\alpha_n x^n\mid n\geq 0,\ \sum_i\alpha_i=0\}.
\]
Mostre que $I$ é um ideal e ache um gerador de $I$.
7. Mostre que
\[
x^{p-1}-1=(x-1)(x-2)\cdots(x-p+1)
\]
vale em $\mathbb F_p[x]$.
8. Determine as fatorações do polinômio $x^4-x^2+1$ em $\mathbb Q[x]$, $\mathbb R[x]$, e em $\mathbb C[x]$.