1. Sejam $G$ um grupo, $H$ e $K$ subgrupos de $G$ tais que $H$ normaliza $K$ ($K^h=K$ para todo $h\in H$). Mostre que $HK$ é um subgrupo de $G$.
2. Seja $G$ um grupo finito, $p$ um primo e $H$ um subgrupo de $G$ tal que $|H|=p^k$ para algum $k$. Mostre que $H$ está contido em um $p$-subgrupo de Sylow.
3. Determine os $p$-subgrupos de Sylow dos grupos $S_5$ e $A_5$.
4. Seja $G$ um grupo simples de ordem 60. Mostre que $G$ é isomorfo a $A_6$. [Dica: Demonstre que $G$ tem cinco $2$-subgrupos de Sylow e faça $G$ agir no conjunto destes subgrupos.]
5. Assuma que $G$ é um grupo de ordem $p^n\cdot m$ onde $p$ é um primo, $p>m$ e $\mbox{mdc}(p,m)=1$. Mostre que $G$ possui um $p$-subgrupo de Sylow normal.
6. Mostre que todo grupo de ordem 56 possui um subgrupo normal não trivial e próprio.
7. Mostre que um grupo de ordem $175$ é abeliano..
8. Generalize o argumento no exercício anterior para obter um resultado sobre grupos de ordem $p^2\cdot q$ onde $p$ e $q$ são primos.