1. Mostre, para $\sigma\in S_n$, que $\sigma\in A_n$ se e somente se
\[
|\{(i,j)\mid 1\leq i<j\leq n \mbox{ tais que }\ i\sigma > j\sigma\}|
\]
é um número par.
2. Mostre que um elemento de $S_n$ de ordem ímpar pertence a $A_n$.
3. Seja $C$ uma classe de conjugação em $S_n$ representado por um elemento $c_1c_2\cdots c_m$ par (então $C\subseteq A_n$) onde os $c_i$ são ciclos disjuntos com comprimento $r_1,\ldots,r_m$ respetivamente ($\sum r_i=n$). Mostre que as seguintes são equivalentes:
- $C$ é uma união de duas classes de conjugação em $A_5$.
- $C_G(c)\leq A_n$;
- $r_1,\ldots,r_m$ são ímpares e distintos dois a dois.
4. Seja $G$ um grupo abeliano. Mostre que $G$ é simples se e somente se $G$ é um grupo cíclico de ordem prima.
5. Ache as classes de conjugação dos grupos $A_4$ e $A_6$. Deduza que o grupo $A_6$ é simples.
6. O grupo $SL(3,2)$ possui 6 classes de conjugação com cardinalidades $1$, $21$, $56$, $42$, $24$ e $24$. Deduza que $SL(3,2)$ é simples.