$\newcommand{\F}{\mathbb F}$1. Sejam $\pi,\sigma\in S_n$. Escreva $\pi$ e $\sigma$ como produto de ciclos disjuntos e assuma que $\pi$ contém $k_i$ ciclos de comprimento $i$ e que $\sigma$ contém $\ell_i$ ciclos de comprimento $i$ para todo $i=1,\ldots,n$. Note que as sequências $k_1,\ldots,k_n$ e $\ell_1,\ldots,\ell_n$ são unicamente determinadas pelas permutações $\pi$ e $\sigma$. Demonstre que $\pi$ e $\sigma$ são conjugados em $S_n$ se e somente se $k_i=\ell_i$ para todo $i=1,\ldots,n$.
2. Descreva as classes de conjugação dos grupos $S_3$, $S_4$, $D_4$, $D_5$. Escolha um elemento de cada classe e determine a cardinalidade e geradores do seu centralizador
3.Sejam $p$ um primo e $G$ um grupo tal que $|G|=p^2$. Mostre que $G$ é abeliano e que exatamente uma das seguintes afirmações é válida:
- $G$ é cíclico
- $G=\left<a,b\right>$ onde $|a|=|b|=p$ e $ab=ba$.
4.. Seja $p$ um primo, $G$ um subgrupo de $\mbox{GL}(n,\F_p)$ tal que $|G|=p^k$ com algum $k\geq 1$. Mostre que existe um vetor $v\in\F_p^n\setminus\{0\}$ tal que $vg=v$ para todo $g\in G$. (Ou seja, os elementos do grupo $G$ têm um autovetor comum com autovalor $1$.)
[Dica: Decomponha o espaço $\F_p^n$ para uma união disjunta de $G$-órbitas e use o Teorema Órbita-Estabilizador.]
5. Seja $p$ um primo, $G$ um subgrupo de $\mbox{GL}(n,\F_p)$ tal que $|G|=p^k$ com algum $k\geq 1$. Mostre que existe um elemento $g\in \mbox{GL}(n,\F_p)$ tal que $G^g$ está contido no subgrupo de $\mbox{GL}(n,\F_p)$ composto por matrizes triangulares superiores com uns nas entradas diagonais.
[Dica: Use indução em $n$. No passo indutivo, use o exercício anterior e aplique a hipótese de indução para o espaço $\F_p^n/\left<v\right>$ onde $v\in\F_p^n$ como no exercício.]
6. [O Teorema de Cauchy para grupos abelianos] Seja $G$ um grupo finito abeliano, seja $p$ um primo tal que $p\mid |G|$. Mostre que $G$ possui um elemento de ordem $p$.
[Dica: Use indução em $|G|$. No passo indutivo, escolhe um elemento $g\in G$ e considere duas possibilidades: $p\mid |g|$ ou $p\nmid |g|$. Na primeira tome uma potência de $g$, na segunda considere o quociente $G/\left<g\right>$ e use a hipótese de indução.]
7. [O Teorema de Cauchy] Seja $G$ um grupo finito, seja $p$ um primo tal que $p\mid |G|$. Mostre que $G$ possui um elemento de ordem $p$.
[Dica: Use indução em $|G|$. No passo indutivo, considere dois casos: $p\mid |Z(G)|$ ou $p\nmid |Z(G)|$. No primeiro caso, use o exercício anterior. No segundo caso, deduza que $G$ possui uma classe de conjugação $C$ tal que $|C|\geq 2$ e $p\nmid |C|$. Use o hipótese de indução para $C_G(g)$ onde $g\in C$.]