$\newcommand{\F}{\mathbb F}$1. Suponha que $G$ age em $\Omega$ e suponha que $\alpha,\beta\in \Omega$ tais que $\beta=\alpha g$ para algum $g\in G$. Mostre que $G_\beta=g^{-1}G_\alpha g$ (ou seja, se $\alpha$ e $\beta$ pertencem à mesma órbita, os seus estabilizadores são conjugados).
Assuma que um grupo $G$ age no conjunto $\Omega$. O conjunto
\[
K=\bigcap_{\alpha\in\Omega} G_\alpha=\{g\in G\mid \alpha g=\alpha\mbox{ para todo }\alpha\in\Omega\}
\]
chama-se o núcleo da ação. Uma ação chama-se fiel se o núcleo é $\{1\}$.
2. Verifique as seguintes afirmações.
- O núcleo da ação é um subgrupo normal de $G$.
- Assuma que $G$ é transitivo e seja $\alpha\in \Omega$. Assuma que $N\unlhd G$ tal que $N\leq G_\alpha$. Mostre que $N$ está contido no núcleo.
3. Seja $G\leq\mbox{Sym}(\Omega)$ transitivo e $\alpha\in\Omega$. Assuma que $N\unlhd G$ tal que $N\leq G_\alpha$. Mostre que $N=\{1\}$. Deduza que se $G$ for abeliano, então $G_\alpha=\{1\}$.
4. Considere o grupo $G=GL(n,\F)$ (onde $\F$ é um corpo) com a sua ação em
\[
\Omega=\{\left<v\right>\mid v\in \F^n\setminus\{0\}\}.
\]
Determine o núcleo desta ação.
5 Seja $\F$ um corpo e considere a ação do grupo
\[
G=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c\end{pmatrix}\in GL(2,\F)\mid a,b,c \in \F\right\}
\]
no conjunto $\Omega=\F^2$ (por multiplicação à direita).
- Determine as órbitas de $G$ em $\Omega$.
- Escolha um elemento de cada órbita e determine o estabilizador do elemento escolhido.
6. Assuma que $G$ age em um conjunto $\Omega$ transitivamente, seja $\alpha\in \Omega$, e considere o mapa
\[
\varphi:\Omega\to\{G_\alpha g\mid g\in G\}
\]
definido nas notas antes do Teorema Órbita-Estabilizador. Mostre que
\[
\varphi(\beta)g=\varphi(\beta g)\quad\mbox{para todo}\quad \beta\in\Omega,\ g\in G.
\]
(Na linguagem da teoria das representações, este exercício mostra que a ação de $G$ em $\Omega$ é equivalente à ação de $G$ no conjunto $\{G_\alpha g\mid g\in G\}$ das classes laterais.)
7. Seja $G$ um grupo e $H\leq G$. O centralizador $C_G(H)$ é o normalizador $N_G(H)$ são definidos como
\begin{eqnarray*}
C_G(H)&=&\{g\in G\mid g^{-1}hg=h\mbox{ para todo }h\in H\};\\
N_G(H)&=&\{g\in G\mid g^{-1}Hg=H\}.
\end{eqnarray*}
Defina
\[
H^G=\{H^g=g^{-1}Hg\mid g\in G\}.
\]
- Mostre que $C_G(H)\unlhd N_G(H)$.
- Mostre que $|H^G|=|G:N_G(H)|$.