1. Sejam $G$ um grupo, $N\unlhd G$ e demonstre as seguintes afirmações.
- Se $G$ for abeliano, então $G/N$ é abeliano.
- Se $G$ for cíclico, então $G/N$ é cíclico.
- Se $|g|$ for finito com $g\in G$, então $|Ng|$ divide $|g|$.
2. Seja $H$ um subgroupo de um grupo $G$. Mostre que as seguintes são
equivalentes.
- $H\unlhd G$;
- $g^{-1}hg\in H$ para todo $g\in G$ e $h\in H$.
3. Seja $G$ um grupo e defina
\[
Z(G) =\{g\in G\mid gx=xg\mbox{ para todo }x\in G\}.
\]
Mostre que $Z(G)\unlhd G$. (O subgrupo $Z(G)$ é chamado de centro de $G$}).
4. Sejam $G$ e $H$ grupos cíclicos de ordem $n$ onde $n\in\mathbb N\cup\{\infty\}$. Mostre que $G\cong H$. Deduza que se $p$ é um primo e $G$ e $H$ são grupos de ordem $p$, então $G\cong H$.
5. Decida com justificativa quais dos seguintes grupos são isomorfos.
- $(\mathbb Z_8^*,\cdot)$ e $\left<(1,2)(3,4),(1,3)(2,4)\right>$.
- $(\mathbb Z_8^*,\cdot)$ e $\{1,-1,i,-i\}$.
- $S_3$ e $GL(2,2)$.
- $S_4$ e $SL(2,3)$.
6. Demonstre que $S_4/\left<(1,2)(3,4),(1,3)(2,4)\right>\cong S_3$.
7. Demonstre que $\mbox{Aut}(S_3)\cong S_3$.