1. Seja $G$ um grupo cíclico de ordem $n$ onde $n\in\mathbb N$. Seja $d\in\mathbb N$
um divisor de $n$. Mostre que $G$ possui um único subgrupo de ordem $d$.
2. Mostre que $S_n$ é gerado pelo conjunto
\[
\{(i,j)\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\mbox{ e }i< j\}.
\]
[Dica: mostre que todo ciclo pode ser escrito como produto de elementos
na forma $(i,j)$ com $i< j$.]
3. Mostre que $S_n$ é gerado pelo conjunto $\{(1,2),(1,2,\ldots,n)\}$.
4. Seja $\mathbb F$ um corpo, $n\geq 2$ e para $i,j\in\{1,\ldots,n\}$, seja $e_{ij}(\alpha)$
a matriz $n\times n$ com todas as entradas iguais a zero, exceto a entrada na posição $(i,j)$ que é igual a $\alpha$. Mostre que
\[
SL(n,\mathbb F)=\left<I+e_{ij}(\alpha)\mid \alpha\in\mathbb F\mbox{ e } i\neq j\right>.
\]
5. Com a notação do exercício anterior, mostre que
\[
SL(n,\mathbb F_p)=\left<I+e_{ij}(1)\mid i\neq j\right>.
\]
6. Sejam $H$ e $K$ subgrupos finitos de um grupo $G$. Mostre que
$|HK|=|H||K|/|H\cap K|$.
(Dica: Defina uma função $f:H\times K\rightarrow HK$ com $f(h,k)=hk$. Para todo
elemento $x\in HK$, determine $|f^{-1}(x)|$.)
7. Seja $G$ um grupo de ordem $pq$ onde $p$ e $q$ são primos. Mostre que
todo subgrupo próprio de $G$ é cíclico.
8. Seja $\mathbb F$ um corpo finito com $q$ elementos e seja $d$ um natural. Mostre que $\mathbb F$ possui um elemento de ordem (multiplicativo) $d$ se e somente se $d\mid q-1$. Determine, neste caso, o número de elementos de ordem $d$ em $\mathbb F$.