Exercícios 2

1. Seja πSn e assuma que π=c1cm onde os ci são
ciclos mutualmente disjuntos e o comprimento de ci é ri. Mostre que
|π|=mmc(r1,,rm).

2. Seja F um corpo e seja XGL(n,F). Descreva as classes laterais XSL(n,F) e SL(n,F)X.

3. Seja G=S4 e seja K={1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}. Determine as classes laterais de K em G. Deduza que gK=Kg para todo gG.

4. Sejam a,b elementos de um grupo G e H,KG tais que aH=bK. Mostre que H=K.

5. Seja G um grupo, gG e HG. Mostre que os seguintes conjuntos são
subgrupos de G:
CG(g)={xGgx=xg}
e
NG(H)={xGxH=Hx}.
(CG(g) é o centralizador de g em G, enquanto NG(H) é o normalizador de
H em G.)

6. Seja G um grupo e seja HG tal que |G:H|=2. Mostre que gH=Hg para todo gG.