$\newcommand{\F}{\mathbb F}$1. Seja $\pi\in S_n$ e assuma que $\pi=c_1\cdots c_m$ onde os $c_i$ são
ciclos mutualmente disjuntos e o comprimento de $c_i$ é $r_i$. Mostre que
$|\pi|=\mbox{mmc}(r_1,\ldots,r_m)$.
2. Seja $\F$ um corpo e seja $X\in GL(n,\F)$. Descreva as classes laterais $XSL(n,\F)$ e $SL(n,\F)X$.
3. Seja $G=S_4$ e seja $K=\{1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}$. Determine as classes laterais de $K$ em $G$. Deduza que $gK=Kg$ para todo $g\in G$.
4. Sejam $a,b$ elementos de um grupo $G$ e $H,K\leq G$ tais que $aH=bK$. Mostre que $H=K$.
5. Seja $G$ um grupo, $g\in G$ e $H\leq G$. Mostre que os seguintes conjuntos são
subgrupos de $G$:
\[
C_G(g)=\{x\in G\mid gx=xg\}
\]
e
\[
N_G(H)=\{x\in G\mid xH=Hx\}.
\]
($C_G(g)$ é o centralizador de $g$ em $G$, enquanto $N_G(H)$ é o normalizador de
$H$ em $G$.)
6. Seja $G$ um grupo e seja $H\leq G$ tal que $|G:H|=2$. Mostre que $gH=Hg$ para todo $g\in G$.