Exercícios 2

$$1. Seja $\pi \in S_n$ e assuma que $\pi =c_1\cdots c_m$ onde os $c_i$ são
ciclos mutualmente disjuntos e o comprimento de $c_i$ é $r_i$. Mostre que
$|\pi |=\text{mmc}(r_1,\dots ,r_m)$.

2. Seja $\mathbb{F}$ um corpo e seja $X\in GL(n,\mathbb{F})$. Descreva as classes laterais $XSL(n,\mathbb{F})$ e $SL(n,\mathbb{F})X$.

3. Seja $G=S_4$ e seja $K=\{1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}$. Determine as classes laterais de $K$ em $G$. Deduza que $gK=Kg$ para todo $g\in G$.

4. Sejam $a,b$ elementos de um grupo $G$ e $H,K\le G$ tais que $aH=bK$. Mostre que $H=K$.

5. Seja $G$ um grupo, $g\in G$ e $H\le G$. Mostre que os seguintes conjuntos são
subgrupos de $G$:
$$C_G(g)=\{x\in G\mid gx=xg\}$$
e
$$N_G(H)=\{x\in G\mid xH=Hx\}.$$
($C_G(g)$ é o centralizador de $g$ em $G$, enquanto $N_G(H)$ é o normalizador de
$H$ em $G$.)

6. Seja $G$ um grupo e seja $H\le G$ tal que $|G:H|=2$. Mostre que $gH=Hg$ para todo $g\in G$.