$\newcommand{\F}{\mathbb F}\newcommand{\E}{\mathbb E}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\C}{\mathbb C}\newcommand{\fix}[1]{\mbox{Fix}(#1)}\newcommand{\gal}[2]{\mbox{Gal}(#1:#2)}\newcommand{\aut}[1]{\mbox{Aut}(#1)}$1. Seja $\E:\F$ uma extensão, $f(x)\in\F[x]$, $\alpha\in\E$ tal que $f(\alpha)=0$, e $\varphi\in\gal\E\F$. Mostre que $f(\varphi(\alpha))=0$.
2. Seja $\E$ um corpo e sejam $\varphi_1,\ldots,\varphi_k\in\aut\E$. Assuma que $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in\E$ tais que $\alpha_1\varphi_1+\cdots+\alpha_k\varphi_k=0$. Mostre que $\alpha_1=\cdots=\alpha_k=0$.
3. Seja $\F$ um corpo infinito (por exemplo um corpo de caraterística zero), $\E$ uma extensão de $\F$ e sejam $\alpha,\beta\in\E$ elementos algébricos sobre $\F$. Mostre que existe um elemento $\gamma\in\E$ tal que $\F(\alpha,\beta)=\F(\gamma)$.
4. Seja $\E:\F$ uma extensão de corpos finitos. Determine $\gal\E\F$.
5. Determine o grupo de Galois dos corpos de decomposição dos seguintes polinômios sobre $\Q$:
- $x^3-1$;
- $x^3+1$;
- $x^4+1$.