$\newcommand{\F}{\mathbb F}\newcommand{\E}{\mathbb E}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\K}{\mathbb K}$1. Seja $p$ um primo e $d\geq 1$. Mostre que $\F_{p^d}$ tem um subcorpo de $p^e$ elementos se e somente se $e\mid d$. Mostre que neste caso o subcorpo é único. Faça uma lista dos subcorpos de $\F_{p^{12}}$.
2. Seja $p$ um primo e $d\geq 1$. Mostre que o polinômio $x^{p^d}-x$ não tem raízes múltiplas em nenhuma extensão de $\F_p$.
3. Ache o corpo de decomposição dos seguintes polinômios sobre $\Q$ e escreva-os como produtos de polinômios lineares:
- $x^3-1$;
- $x^4+1$;
- $x^4+x^2+1$.
4. Seja $\K:\F$ uma extensão de corpos e sejam $f(x),g(x)\in\F[x]$ dois polinômios primos entre si. Mostre que $f(x)$ e $g(x)$ são primos entre si considerando-os como elementos de $\K[x]$.
5. Escreva $x^3+2x+1\in\F_3[x]$ como um produto de fatores lineares sobre alguma extensão de $\F_3$.
6. Seja $\F$ um corpo e $a\in\F^*$. Mostre que o corpo de decomposição de $x^n-a\in\F[x]$ contém todos as $n$-ésimas raízes da unidade.
7. Ache o corpo de decomposição do polinômio $(x^2+x+2)(x^2+2x+2)\in\F_3[x]$ e decomponha este polinômio como produto de fatores lineares sobre seu corpo de decomposição.