$\newcommand{\F}{\mathbb F}\newcommand{\E}{\mathbb E}$1. Sejam $\F$, $\E$, $\mathbb K$ corpos tais que $\F\subseteq\E\subseteq\mathbb K$. Mostre que $\dim_\F\mathbb K=(\dim_\F\E)(\dim_\E\mathbb K)$.
2. Seja $\F\subseteq\E$ uma extensão de corpos e seja $\alpha\in\E$. Mostre que as seguintes são
equivalentes:
- $\dim_\F \F(\alpha)$ é finita;
- $\alpha$ é algébrico sobre $\F$.
3. Usando exercício 2., mostre que os elementos $\F$-algébricos de $\E$ formam um corpo.
4. Seja $\zeta=\exp(2\pi\cdot i/3)$ (terceira raiz da unidade em $\mathbb C$). Ache o polinômio mínimo de $\zeta$.
5. Mostre que $\mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt 3)=\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)$.
6. Seja $\F$ um corpo e $f(x)\in\F[x]$. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
- existe uma extensão $\E$ de $\F$ tal que $f(x)$ possui uma raiz múltipla em $\E$.
- $\mbox{mdc}(f(x),f'(x))\neq 1$.
7. Seja $\F$ um corpo de caraterística zero ou um corpo finito e $f(x)\in\F[x]$ um polinômio irredutível. Mostre que $f(x)$ não possui raízes múltiplas em nenhuma extensão $\E$ de $\F$.