Exercícios 11

$$1. Sejam $\mathbb{F}$, $\mathbb{E}$, $\mathbb{K}$ corpos tais que $\mathbb{F}\subseteq \mathbb{E}\subseteq \mathbb{K}$. Mostre que ${\dim }_{\mathbb{F}}\mathbb{K}=({\dim }_{\mathbb{F}}\mathbb{E})({\dim }_{\mathbb{E}}\mathbb{K})$.

2. Seja $\mathbb{F}\subseteq \mathbb{E}$ uma extensão de corpos e seja $\alpha \in \mathbb{E}$. Mostre que as seguintes são
equivalentes:

1. ${\dim }_{\mathbb{F}}\mathbb{F}(\alpha )$ é finita;
2. $\alpha$ é algébrico sobre $\mathbb{F}$.

3. Usando exercício 2., mostre que os elementos $\mathbb{F}$-algébricos de $\mathbb{E}$ formam um corpo.

4. Seja $\zeta =\exp (2\pi \cdot i/3)$ (terceira raiz da unidade em $\mathbb{C}$). Ache o polinômio mínimo de $\zeta$.

5. Mostre que $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$.

6. Seja $\mathbb{F}$ um corpo e $f(x)\in \mathbb{F}[x]$. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:

1. existe uma extensão $\mathbb{E}$ de $\mathbb{F}$ tal que $f(x)$ possui uma raiz múltipla em $\mathbb{E}$.
2. $\text{mdc}(f(x),f^{\prime }(x))\ne 1$.

7. Seja $\mathbb{F}$ um corpo de caraterística zero ou um corpo finito e $f(x)\in \mathbb{F}[x]$ um polinômio irredutível. Mostre que $f(x)$ não possui raízes múltiplas em nenhuma extensão $\mathbb{E}$ de $\mathbb{F}$.