$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\N}{\mathbb N}\newcommand{\C}{\mathbb C}\newcommand{\K}{\mathbb K}\newcommand{\sym}[1]{{\rm Sym}(#1)}$1. Quais das seguintes estruturas algébricas são grupos?
- $(\Z,+)$,
- $(\Z,\cdot)$,
- $(\Z_p,\cdot)$,
- $(\Z_p\setminus\{0\},\cdot)$ (com $p$ primo),
- $(\Z_n,+)$ (com $n$ inteiro),
- $(\Z_{12}\setminus\{0\},\cdot)$,
- $(\{1,5,7,11\}\subseteq \Z_{12},\cdot)$,
- $(\{z\in \C\mid z^n=1\},\cdot)$ (com $n$ inteiro).
2. Seja $G$ um grupo, $g\in G$ e sejam $m,n\in\Z$. Lembrando que
$g^{-m}=(g^{-1})^m$, demonstre as seguintes identidades:
- $g^{m+n}=g^mg^n$;
- $g^{mn}=(g^m)^n$.
3. Seja $g\in G$ um elemento de ordem $k$ e seja $m\in\Z$. Mostre que
$|g^m|=k/\mbox{mdc}(k,m)$.
4. Escreva uma lista dos elementos dos grupos $D_5$ e $D_{6}$. Calcule a ordem de
cada elemento.
5. Seja $g\in G$ e $n\in \N$ tal que $g^n=1$. Mostre que $|g|\mid n$.
6. Sejam $g,h\in G$ tal que $gh=hg$.
- Mostre que $|gh|$ divide $\mbox{mmc}(|g|,|h|)$.
- Ache exemplos nos quais $|gh|<\mbox{mmc}(|g|,|h|)$.
- Mostre, exibindo um exemplo, que a condição $gh=hg$ é necessária para provar o primeiro item.
7. Seja $G$ um grupo tal que $xy=zx$ implica que $y=z$ para todo $x,y,z\in G$.
Mostre que $G$ é comutativo.
8. Calcule as ordens dos elementos de $S_4$.
9. Escreva a lista dos elementos de $\mbox{GL}(2,3)$.
10. Seja $p$ um primo. Mostre que
\[
|GL(n,p)|=p^{n(n-1)/2}\prod_{i=1}^n(p^i-1).
\]