Seja $G$ um grupo e $X$ um subconjunto não vazio de $G$. Denotamos por $\left<X\right>$ o subgrupo gerado por $X$. Quando $X=\{x_1,\ldots,x_k\}$, escrevemos $\left<x_1,\ldots,x_k\right>$. O subgrupo $\left<X\right>$ pode ser caraterizado como o conjunto de todos os produtos nos elementos de $X$ e seus inversos:
\[
\left<X\right>=\left\{x_1^{\pm 1}\cdots x_m^{\pm 1}\mid m\geq 1 \mbox{ e } x_i\in X\right\};
\]
o mesmo subgrupo pode ser descrito também como a interseção de todos os subgrupos de $G$ que contêm $X$:
\[
\left<X\right>=\bigcap_{X\subseteq H\leq G}H.
\]
Um subconjunto $X\subseteq G$ é dito conjunto gerador se $G=\left<X\right>$.
Um grupo gerado por um elemento é dito grupo cíclico. Em outras palavras, $G$ é dito cíclico se $G=\left<g\right>$ para algum elemento $g\in G$. Se $G$ é cíclico e $G=\left<g\right>$. então
\[
G=\{1=g^0,g^1,g^{-1},g^2,g^{-2},g^3,g^{-3},\ldots\};
\]
ou seja, $G$ é composto pelas potências de $g$. Como $g^a$ e $g^b$ comutam para todo $a,b\in\mathbb Z$, obtemos que um grupo cíclico é abeliano.
Exercício. Seja $g\in G$. Demonstre que $|\left<g\right>|=|g|$. Portanto, se $G$ é um grupo finito e $g\in G$, então $|g|$ divide $|G|$. Em particular, temos neste caso que $g^{|G|}=1$. Consequentemente, um grupo finito $G$ é cíclico se e somente se $G$ possui um elemento de ordem $|G|$.
Exemplos.
- O grupo $(\mathbb Z,+)$ é cíclico gerado por $1$.
- Seja $n\geq 2$. Então o grupo aditivo $(\mathbb Z_n,+)$ é cíclico gerado pelo elemento $1$.
- O grupo $\{i,-i,1,-1\}$ é cíclico gerado por $i$.
- O grupo de rotações de um polígono com $n$ lados é cíclico e é gerado pela rotação por $360/n$ graus.
Não exemplos.
- O grupo simétrico $S_3$ não é cíclico, pois ele não é abeliano.
- O grupo $K=\{1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}$ é abeliano, mas não é cíclico pois não possui um elemento de ordem $4$.
O seguinte teorema sai como uma consequência do Teorema de Lagrange.
Teorema. Seja $p$ um primo e seja $G$ um grupo com $p$ elementos. Então $G$ é cíclico. Em particular, $G$ é abeliano.
Demonstração. Seja $g\in G\setminus\{1\}$ e seja $H=\left<g\right>$. Temos que $1<|H|$ e que $|H|\mid |G|=p$. Logo, $|H|=|G|$ e obtemos que $H=G$. Isso significa que $G=\left<g\right>$; ou seja, $G$ é cíclico.
O resultado seguinte é particularmente útil no estudo de grupos multiplicativos de corpos. Antes do resultado relembremos que se $n\in\mathbb N$, então
\[
\varphi(n)=|\{k\mid 1\leq k\leq n,\ \mbox{mdc}(n,k)=1\}|.
\]
A seguinte igualdade é bem conhecida:
\[
\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n.
\]
Teorema. Seja $G$ um subgrupo finito do grupo multiplicativo de um corpo $\mathbb F$. Então $G$ é cíclico.
Demonstração. Ponha $n=|G|$. Se $g\in G$, então a ordem de $g$ divide $|G|=n$ por um exercício anterior. Seja $d$ um divisor de $n$ e assuma que existe um elemento $g\in G$ com ordem $d$. Seja $H=\left<g\right>$. Sabe-se que $|H|=|g|=d$. Então $h^d=1$ vale para todo $h\in H$ e os elementos de $H$ são soluções da equação polinomial
\[
x^d-1=0.
\]
Esta é uma equação de grau $d$ então possui no máximo $d$ soluções em $\mathbb F$. Mas o subgrupo $H$ já possui $d$ soluções, então temos obrigatoriamente que
\[
H=\{x\in \mathbb F\mid x^d=1\}.
\]
Se $h\in H$, então $h=g^i$ com algum $i=0,\ldots,d-1$ e $|h|=|g|/\mbox{mdc}(d,i)$. Isto quer dizer que $|h|=d$ se e somente se $\mbox{mdc}(d,i)=1$; ou seja, o número de elementos em $H$ com ordem $d$ é $\varphi(d)$.
Seja $m_d$ o número de elementos de $G$ com ordem $d$. O que acabamos de provar com o argumento no parágrafo anterior é a seguinte afirmação: Se $d\mid n$, então $m_d=0$ ou $m_d=\varphi(d)$; caso contrário $m_d=0$. Em particular $m_d\leq\varphi(d)$ para todo $d$.
Contando os elementos de $G$, obtemos que
\[
|G|=n=\sum_{d\mid n}m_d\leq \sum_{d\mid n}\varphi(d)=n.
\]
(A última igualdade é por causa do resultado citado sobre $\varphi(n)$ antes do teorema.) Note que a igualdade na linha anterior implica que a desigualdade no meio precisa ser igualdade. Mas isso é possível somente quando $m_d=\varphi(d)$ vale para todo $d\mid n$. Em particular, $m_n=\varphi(n)$; ou seja, $G$ possui um elemento de ordem $n$. Se $g\in G$ é tal elemento, então $G=\left<g\right>$.
Corolário. O grupo $(\mathbb Z_p\setminus\{0\},\cdot)$ é cíclico.
Se $g\in \mathbb Z_p\setminus\{0\}$ é um gerador do grupo multiplicativo de $\mathbb Z_p$, então o elemento $g$ é chamado de elemento primitivo de $\mathbb Z_p$. Se $g\in \mathbb Z_p$ é um elemento primitivo, então
\[
\mathbb Z_p=\{0,1=g^0,g^1,g^2,\ldots,g^{p-2}\}.
\]
Geralmente, $\mathbb Z_p$ possui vários elementos primitivos.