$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\C}{\mathbb C}\newcommand{\K}{\mathbb K}\newcommand{\sym}[1]{{\rm Sym}(#1)}$Seja $X$ um conjunto. Uma função $f\colon X\times X\to X$ é dita uma operação binária, ou simplesmente uma operação. Se $x,y\in X$, então o resultado da operação entre $x$ e $y$ é $f(x,y)$. Normalmente o resultado de uma operação entre $x,y\in X$ será escrito como $x\cdot y$, $x+y$, $x\circ y$, $x\diamond y$, ou, quando não houver risco de ambiguidade, simplesmente como $xy$.
Sejam $X$ um conjunto e $\cdot$ uma operação em $X$.
- A operação $\cdot$ é dita associativa, se $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$ para todo $x,y,z\in X$.
- A operação $\cdot$ é dita comutativa, se $x\cdot y=y\cdot x$ para todo $x,y\in X$.
- $X$ possui elemento neutro para a operação $\cdot$, se existir um elemento $e\in X$ tal que $ex=xe=x$ para todo $x\in X$.
- Assuma que $X$ possui elemento neutro $e$ para a operação $\cdot$ e seja $x\in X$. Diz-se que $x$ possui inverso, se existe $y\in X$ tal que $xy=yx=e$. O elemento $y$ é dito um inverso de $x$ (o inverso pode não ser único).
Definição. Assuma que $X$ é um conjunto com uma operação $\cdot$. Dizemos que $X$ é um grupo se
- a operação $\cdot$ é associativa;
- $X$ possui elemento neutro;
- todo elemento de $X$ possui inverso.
Além disso, se a $\cdot$ é comutativa, então $X$ é dito grupo comutativo ou grupo abeliano.
Se $G$ é um grupo com a operação $\cdot$, então, para evitar ambiguidade, escrevemos que $(G,\cdot)$ é um grupo. Quando não há perigo de ambiguidade, escreve-se simplesmente que $G$ é um grupo. Por exemplo, $(\Z,+)$ é um grupo, mas $(\Z,\cdot)$ não é.
Lema. Seja $G$ um grupo.
- O elemento neutro de $G$ é único.
- Se $g\in G$, o inverso de $G$ é único.
Demonstração. Exercício.
Usamos dois sistemas principais de notações quando consideramos grupos:
Notação aditiva: a operação é denotada por $+$, o elemento neutro por $0$, o inverso de $g$ por $-g$. A soma $g+\cdots+g$ ($n$ vezes) está escrita como $n\cdot g$ ou $ng$. Se $n$ for um número natural, elemento $n(-g)=-(ng)$ será escrita como $-ng$. Concordamos também que $0g=0$. Esta notação é usada principalmente em grupos abelianos.
Notação multiplicativa: A operação é denotada por $\cdot$ ou simplesmente por concatenação, por exemplo $xy$. O elemento neutro é denotado por $1$, o inverso de $g$ por $g^{-1}$. O produto $g\cdots g$ ($n$ vezes) será escrito como $g^n$. Se $n$ for um número natural, o elemento $(g^{-1})^n=(g^n)^{-1}$ será escrito como $g^{-n}$. Além disso, $g^0=1$. Esta notação é mais comum que a notação aditiva e pode ser usada em grupos abelianos e também em grupos não abelianos.
Exemplos. Aqui são os primeiros exemplos de grupos. Ao longo da disciplina, nós vamos estudar exemplos mais complexos. O conceito do corpo será introduzido mais tarde. Quem não sabe o que é um corpo, pode pensar simplesmente em $\Q$, $\R$, $\C$, ou $\Z_p$.
- $(\Z,+)$ é um grupo abeliano.
- os conjuntos $\{1,-1\}$, $\{1,-1,i,-i\}$ são grupos abelianos com a multiplicação ($i$ é a unidade imaginária).
- Se $\K$ é um corpo, então $(\K,+)$ e $(\K\setminus\{0\},\cdot)$ são grupos abelianos.
- Seja $X$ um conjunto não vaziu. Definimos
\[
\sym X=\{f\colon X\to X\mid \mbox{$f$ é bijetiva}\}.
\]
O conjunto $\sym X$ é um grupo com a operação de composição e o nome deste grupo é o grupo simétrico sobre o conjunto $X$. Os elementos de $\sym X$ são chamadas de permutações (do conjunto $X$). Frequentemente, $X=\{1,\ldots,n\}$ e neste caso escrevemos $\sym X=S_n$ e o nome do grupo é grupo simétrico de grau $n$. - Se $V$ é um espaço vetorial sobre um corpo $\K$, então definimos
\[
GL(V)=\{f\colon V\to V\mid \mbox{$f$ é linear a bijetiva}\}.
\]
O conjunto $GL(V)$ é um grupo com a operação de composição. O grupo $GL(V)$ é chamado de grupo geral linear. Se $V$ tem dimensão finita, então pode-se definir
\[
SL(V)=\{f\in GL(V)\mid \det f=1\}
\]
(Note que o determinante de um operador linear de um espaço de dimensão finita é bem definido e independe da base.) O grupo $SL(V)$ é chamado de grupo especial linear. - Seja $\K$ um corpo e $n\geq 1$. Defina
\[
GL(n,\K)=\{A\in M_{n\times n}(\K)\mid \mbox{$A$ é invertível}\}
\]
e
\[
SL(n,\K)=\{A\in GL(n,\K)\mid \det A=1\}.
\]
Os estes conjuntos são grupos com a operação de multiplicação matricial.
Os grupos $GL(n,\K)$ e $SL(n,\K)$ são também chamados de grupo geral linear e grupo especial linear. Se $\K=\Z_p$, então escrevemos $GL(n,p)$ and $SL(n,p)$ para $GL(n,\Z_p)$ e para $SL(n,\Z_p)$. Se $V$ é um espaço vetorial de dimensão $n$ sobre $\K$, então os grupos $GL(V)$, $GL(n,\K)$, e $SL(V)$, $SL(n,\K)$ são claramente relacionados, e nós vamos estudar esta relação mais tarde quando tratarmos o conceito de isomorfismo. Neste momento é importante entender que $GL(V)$ e $GL(n,\K)$ não são idênticos (iguais). - Seja $n\geq 3$ and considere um polígono regular com $n$ lados desenhado no plano. Este polígono possui $n$ simetrias de rotação (por $360/n$ graus para $n=0,\ldots,n-1$) e $n$ simetrias reflexivas. A coleção destas simetrias é fechada para a composição e é chamada de grupo diedral de grau $n$. O grupo diedral é denotado por $D_n$.
Definição. A ordem de um grupo $X$ é a cardinalidade de $X$ e é denotada por $|X|$. Por exemplo $|S_n|=n!$ e $|D_n|=2n$. Se $x\in X$, então a ordem $|x|$ de $x$ é definida na maneira seguinte. Se existir $n\geq 1$ tal que $x^n=1$, então $|x|$ é igual ao menor tal $n\geq 1$. Se tal número $n$ não existir, então $|x|$ é infinito.
Definição. Seja $X$ um grupo, e $Y\subseteq X$. Dizemos que $Y$ é um subgrupo de $X$ se $Y$ é fechado para produto e para inversos; ou seja, para todo $x,y\in Y$,
- $x\cdot y\in Y$;
- $x^{-1}\in Y$.
Se $Y$ é um subgrupo de $X$, então escrevemos $Y\leq X$. Note que a definição implica que o elemento neutro de $X$ pertence a cada subgrupo $Y$ e ele é o elemento neutro de $Y$.
Exemplos.
- Se $G$ é um grupo, então $G\leq G$. Um subgrupo de $G$ diferente de $G$ é dito subgrupo próprio.
- Se $G$ é um grupo, então $\{1\}\leq G$ e este é o único subgrupo com um elemento. Se $H$ é um subgrupo e $H\neq\{1\}$, então $H$ é dito não trivial.
- $SL(V)\leq GL(V)$ e $SL(n,\K)\leq GL(n,\K)$.
- $\{2n\mid n\in\Z\}\leq \Z$, mas $\{2n+1\mid n\in\Z\}\not\leq \Z$ (considerando a operação $+$).
- $\{1,-1\}\leq\{1,-1,i,-i\}$.
- As simetrias rotacionais formam um subgrupo de $D_n$, mas as simetrias reflexivas não (explique porque).