Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\begin{align*}
x + y – z &= -2\\
x -y +2z &= -1\\
2x – y – z &= 1
\end{align*}
Primeiro, definimos a matriz do sistema e o vetor dos valores no lado direito:
\begin{align*}
x + y – z &= -2\\
x -y +2z &= -1\\
2x – y – z &= 1
\end{align*}
Primeiro, definimos a matriz do sistema e o vetor dos valores no lado direito:
// a matriz do sistema
// observe que a matriz pode ser definida sem usar ";"
--> A = [1 1 -1
1 -1 2
2 -1 -1 ]
A =
1. 1. -1.
1. -1. 2.
2. -1. -1.
// o vetor b
--> b = [ -2
-1
1]
b =
-2.
-1.
1.
Vamos resolver o sistema usando os três métodos estudados na disciplina. Começamos pela eliminação de Gauss-Jordan.
// primeiro, vamos criar uma cópia A0 de A.
// Queremos usar A mais tarde
--> A0 = A
A0 =
1. 1. -1.
1. -1. 2.
2. -1. -1.
// Adicionamos o vetor b à matriz A0 como 4a coluna
// observe o uso de ":"
--> A0(:,4) = b
A0 =
1. 1. -1. -2.
1. -1. 2. -1.
2. -1. -1. 1.
// Usando a função rref (Row Reduced Echelon Form),
computamos a forma escalondada de A0.
--> rref( A0 )
ans =
1. 0. 0. -1.
0. 1. 0. -2.
0. 0. 1. -1.
Os números que aparecem na última coluna representam a solução do sistema: $x=-1$, $y=-2$, $z=-1$.
Ora, vamos usar o método da matriz inversa.
// calculamos a inversa da matriz A
--> A^-1
ans =
0.4285714285714285476381 0.2857142857142856984254 0.1428571428571429047238
0.7142857142857141905523 0.1428571428571428492127 -0.4285714285714284921269
0.1428571428571428492127 0.4285714285714285476381 -0.2857142857142856984254
// computamos o produto A^-1*b
--> A^-1*b
ans =
-0.999999999999999888978
-1.999999999999999555911
-0.999999999999999888978
Note que as soluções que obtivemos são similares às soluções que foram dadas pelo método da eliminação de Gauss-Jordan, mas não são números inteiros. De novo, o problema é devido ao fato que o sistema Scilab usa aproximações para fazer as computações.
Finalmente, resolveremos o problema usando o Regra do Cramer.
// calculemos primeiro a matriz A1 que obtemos
// de A por colocar b na primeira coluna
--> A1 = A; A1(:,1) = b
A1 =
-2. 1. -1.
-1. -1. 2.
1. -1. -1.
// a matriz A2 que obtemos
// de A por colocar b na segunda coluna
--> A2 = A; A2(:,2) = b
A2 =
1. -2. -1.
1. -1. 2.
2. 1. -1.
// a matriz A3 que obtemos
// de A por colocar b na terceira coluna
--> A3 = A; A3(:,3) = b
A3 =
1. 1. -2.
1. -1. -1.
2. -1. 1.
// a solução será obtida por calcular os determinantes de
// A1, A2, A3 e dividir pelo detarminante de A
--> [det(A1)/det(A); det(A2)/det(A); det(A3)/det(A)]
ans =
-0.999999999999999888978
-2.
-0.999999999999999888978
Observem de novo que uma solução aproximada foi obtida.
Resolvem usando os três métodos no exemplo anterior o seguinte sistema de equações lineares:
\begin{align*}
4x_1 + x_2 + 2x_3+ 4 x_4 +2 x_5 + 2 x_6 & = -2\\
2x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 3x_5 + 4x_6 & = -1\\
4x_1 + 2x_2 + x_3 + 4x_4 + 2x_6 & = 1\\
x_1 + 2x_3 + 4x_4 + 3x_5 & = 0\\
4x_2 + 4x_4 & = 0\\
2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + x_4 + 2x_5 + x_6 & = 2
\end{align*}
Para ajudar, coloquei aqui a matriz do sistema e o vetor $b$ para serem copiados e colados na janela do Scilab.
\begin{align*}
4x_1 + x_2 + 2x_3+ 4 x_4 +2 x_5 + 2 x_6 & = -2\\
2x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 3x_5 + 4x_6 & = -1\\
4x_1 + 2x_2 + x_3 + 4x_4 + 2x_6 & = 1\\
x_1 + 2x_3 + 4x_4 + 3x_5 & = 0\\
4x_2 + 4x_4 & = 0\\
2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + x_4 + 2x_5 + x_6 & = 2
\end{align*}
Para ajudar, coloquei aqui a matriz do sistema e o vetor $b$ para serem copiados e colados na janela do Scilab.
// matriz A
[ 4. 1. 2. 4. 2. 2.
2. 2. 2. 3. 3. 4.
4. 2. 1. 4. 0. 2.
1. 0. 2. 4. 3. 0.
0. 4. 0. 4. 0. 0.
2. 3. 4. 1. 2. 1. ]
// vetor b
[ -2; -1; 1; 0; 0; 2 ]