$$
f(u+v)=f(u)+f(v)\quad \mbox{e}\quad f(\alpha u)=\alpha f(u)
$$
valem para todo $u,v\in U$ e $\alpha\in \F$.
Uma condição equivalente à condição na definição anterior é que
$$
f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)
$$
vale para todo $u,v\in V$ e $\alpha,\beta\in\F$.
Também segue diretamente da definição que se $u_1,\ldots,u_k\in U$ e $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in\F$, então
$$
f(\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_ku_k)=\alpha_1f(u_1)+\cdots+\alpha_kf(u_k);
$$
ou seja, uma transformação linear preserva combinações lineares.
$$
u=\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_k x_k
$$
com $\alpha_i\in \F$ e $x_i\in X$. Defina
$$
f(u)=\alpha_1f_0(x_1)+\cdots+\alpha_k f_0(x_k).
$$
O fato que $f$ está bem definida, ela é linear e que ela é única é exercício para o leitor.
A relação entre as aplicações no lema anterior pode ser expressa na forma de um diagrama comutativo:
\begin{array}{ccc}
U & \stackrel{f}{\longrightarrow} & V\\
i\uparrow &\nearrow f_0&\\
X & &
\end{array}
A aplicação $i:X\to U$ é a inclusão $i(x)=x$ para todo $x\in X$. O resultado diz que para todo $f_0:X\to V$ existe unicamente $f:U\to V$. Denotando por $\mbox{Hom}(U,V)$ o conjunto de aplicações lineares de $U$ para $V$, temos que a corresponência $f_0\mapsto f$ determina uma bijeção
$$
\mbox{Func}(X,V)\to \mbox{Hom}(U,V).
$$
$$
\mbox{Im}\,f=\{f(u)\mid u \in U\}\quad\mbox{e}\quad \ker f=\{u\in U\mid f(u)=0\}.
$$
O conjunto $\mbox{Im}\,f$ chama-se a imagem, enquanto $\ker f$ chama-se o núcleo de $f$.
Lembre que uma função $\varphi:X\to Y$ é dita injetiva se $\varphi(x_1)=\varphi(x_2)$ implica que $x_1=x_2$ para todo $x_1,x_2\in X$.
Assuma agora que $\ker f=\{0\}$ e sejam $u_1,u_2\in U$ tal que $f(u_1)=f(u_2)$. Neste caso,
$$
0=f(u_1)-f(u_2)=f(u_1+u_2);
$$
ou seja, $u_1-u_2\in\ker f$. Como $\ker f$ contém apenas a vetor nulo, tem~se que $u_1-u_2=0$; ou seja $u_1=u_2$. Portanto, $f$ é injetiva.