Equivalentemente, podemos dizer que $U$ é um subespaço quando ele é fechado para combinações lineares; ou seja, $\sum_{i=1}^k\alpha_i v_i\in U$ para todo $\alpha_i\in\F$ e $v_i\in U$.
Um subespaço vetorial é um espaço vetorial dentro de um espaço maior.
Quando $U$ é um subespaço de $V$, escrevemos que $U\leq V$.
Seja $V$ um $\F$-espaço vetorial e $X\subseteq V$. O subespaço gerado por $X$ está definido como
$$
\langle X\rangle=\left\{\sum_{i=1}^k\alpha_i x_i\mid \alpha_i\in\F,\ x_i\in X\right\}.
$$
Ou seja, $\langle X\rangle$ é o conjunto de todas as combinações lineares em $X$. Claramente, $\langle X\rangle \leq V$ e $\langle X\rangle= V$ se e somente se $X$ é um conjunto gerador.
Observe que um subespaço $U$ é não vazio. Tomando $v\in U$, temos que $v+(-1)v=v-v=0\in U$. Ou seja, todo subespaço contém o vetor nulo.
O subconjunto $\{0\}$ é subespaço em qualquer espaço e este subespaço é chamado de subespaço trivial. O próprio $V$ é subespaço de $V$. Quando $U\leq V$ e $U\neq V$, escrevemos que $U<V$ e chamamos $U$ de espaço próprio.
- A soma de $U_i$
$$
\sum_{i\in I}=\{u_1+\cdots+u_k\mid u_i\in U_{j_i}\mbox{ e }k\geq 0\}
$$
é um subespaço de $V$. - A interseção
$$
\bigcap_{i\in I} U_i
$$
é um subespaço de $V$.
Note que a união não é geralmente subespaço. Exemplos foram dadas na aula. Quando temos um número finito de espaços $U_1,\ldots,U_k$, a soma pode ser escrita como
$$
U_1+\cdots+U_k=\{u_1+\cdots+u_k\mid u_i\in U_i\}.
$$
Em particular,
$$
U_1+U_2=\{u_1+u_2\mid u_i\in U_i\}.
$$
Na verdade, temos que
$$
\sum_{i=1}^k U_i=\left\langle\bigcup_{i\in I} U_i\right\rangle.
$$
Ou seja, $\sum_i U_i$ é o menor subespaço que contém $U_i$ para todo $i$.
$$
\langle X\rangle=\bigcap_{X\subseteq U\leq V} U.
$$