Projeções

Uma transformação $f\in\mbox{End}(V)$ chama-se projeção (ou idempotente em outros contextos) se $f^2=f$.
Seja $f\in\mbox{End}(V)$ e $U\leq V$. O subespaço $U$ chama-se $f$-invariante se $f(u)\in U$ para todo $u\in U$. Neste caso a restrição $f|_U:U\to U$ é uma transformação linear de $U$; ou seja $f|_U\in\mbox{End}(U)$.

Seja $V=U\oplus W$ uma decomposição para soma direta. Se $v\in V$, então $v$ pode ser escrito unicamente como $v=u+w$ com $u\in U$ e $w\in W$ e pode-se definir $f:V\to V$ como $f(v)=u$. O endomorfismo $f$ é uma projeção tal que $\mbox{Im}(f)=U$ e $\ker f=W$.

As seguintes afirmações são válidas para uma projeção $f:V\to V$.
  1. $\mbox{Im}(f)$ é $f$-invariante e $f|_{\textrm{Im}(f)}=\mbox{id}_{\textrm{Im}(f)}$.
  2. Os possíveis autovalores de $f$ são $1$ e $0$.
  3. $f$ é raiz do polinômio $t^2-t$ e $m_f(t)\in\{t,t-1,t^2-t\}$.
  4. $V_0=\ker f$, enquanto $V_1=\ker(\mbox{id}_V-f)=\mbox{Im}(f)$.
  5. $V=V_0\oplus V_1=\ker f\oplus\ker(\mbox{id}_V-f)$.
1. Segue da definição. Para provar 2., assuma que $\lambda$ é autovalor com autovetor não nulo $v$. Tem-se que
$$
\lambda^2 v=f(f(v))=f^2(v)=f(v)=\lambda v.
$$
Logo $\lambda^2=\lambda$ ou seja $\lambda\in\{0,1\}$.

3. A definição da projeção implica que $f$ é raiz de $t^2-t$. Logo $m_f(t)$ é um divisor de $t^2-t$ e as possibilidades são $t$, $t-1$, $t^2-t$.

4. $V_0=\ker f$ e $V_1=\ker(\mbox{id}_V-f)$ valem para qualquer $f$ (não precisa ser projeção). Se $f(v)\in \mbox{Im}(f)$, então $f(f(v))=f(v)$ e $f(v)\in V_1$. Vice versa, se $v\in V_1$, então $v=f(v)\in \mbox{Im}(V)$. Logo $V_1=\mbox{Im}(V)$.

5. Para concluir que $V=\mbox{Im}(f)+\ker f$, escreva $v\in V$ como $v=v-f(v)+f(v)$ e note que $v-f(v)\in\ker f$. Como $\ker f$ e $\mbox{Im}(f)$ são autoespaços com autovalor distinto, temos que $\ker f\cap \mbox{Im}(f)=0$. Portanto $V= \mbox{Im}(f)\oplus\ker f$.

Se $V=V_1\oplus\cdots\oplus V_k$, pode-se definir $p_i:V\to V$ por
$$
p_i(v)=v_i
$$
onde $v=v_1+\cdots+v_k$ com $v_i\in V_i$. Definindo assim, temos que $p_i$ é uma projeção para cada $i$, $p_1+\cdots+p_k=\mbox{id}_V$ e $p_ip_j=0$ quando $i\neq j$. O teorema seguinte diz que este argumento pode ser revertido.

Sejam $p_1,\ldots,p_k:V\to V$ tais que
  1. $p_1+\cdots+p_k=\mbox{id}_V$;
  2. $p_ip_j=0$ para todo $i\neq j$.

Então os $p_i$ são projeções e $V=\mbox{Im}(p_1)\oplus\cdots\oplus\mbox{Im}(p_k)$.

Temos para $v\in V$ que
\begin{align*}
p_i(v)&=p_i(\mbox{id}_V(v))=p_i((p_1+\cdots+p_k)(v))=p_i(p_1(v)+\cdots+p_k(v))\\
&=p_i(p_1(v))+\cdots+p_i(p_i(v))+\cdots+p_i(p_k(v))=p_i(p_i(v)).
\end{align*}
Logo $p_i^2=p_i$ e $p_i$ é uma projeção.

Se $v\in V$, então
$$
v=\mbox{id}_V(v)(p_1+\cdots+p_k)(v)=p_1(v)+\cdots+p_k(v)\in \mbox{Im}(p_1)+\cdots+\mbox{Im}(p_k).
$$
Para provar que a soma é direta, seja $p_i(v)\in\mbox{Im}(p_i)\cap\sum_{j\neq i}\mbox{Im}(p_j)$ e escreva
$$
p_i(v)=p_1(v_1)+\cdots+p_{i-1}(v_{i-1})+p_{i+1}(v_{i+1})+\cdots+p_k(v_k).
$$
Ora,
\begin{align*}
p_i(v)&=p_i(p_i(v))=p_i(p_1(v_1)+\cdots+p_{i-1}(v_{i-1})+p_{i+1}(v_{i+1})+\cdots+p_k(v_k))\\&=0.
\end{align*}
Portanto, $\mbox{Im}(p_i)\cap\sum_{j\neq i}\mbox{Im}(p_j)=0$ e a soma é direta.