- Se $f$ é autoadjunto, então $f$ é normal.
- Se $\dim V$ é finita e $f$ é diagonalizável por uma base ortonormal, então $f$ é normal.
\[
\begin{pmatrix}
\cos\alpha &-\mbox{sen}\,\alpha\\ \mbox{sen}\,\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}.
\]
A matriz da adjunta de $R_\alpha$ na mesma base é
\[
\begin{pmatrix}
\cos\alpha &\mbox{sen}\,\alpha\\ -\mbox{sen}\,\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix};
\]
ou seja, $(R_\alpha)^*=R_{-\alpha}$. Como rotações do plano comutam, $R_\alpha$ comuta com $R_\alpha^*=R_{-\alpha}$ e $R_\alpha$ é normal. Por outro lado se $\alpha$ não é múltipo de $180$ graus, $R_\alpha\neq R_{-\alpha}$ e neste caso $R_\alpha$ não é autoadjunto.
- $\|f(v)\|=\|f^*(v)\|$ para todo $v\in V$.
- Se $v$ é autovetor de $f$ com autovalor $\lambda$, então o mesmo $v$ é autovetor de $f^*$ com autovalor $\overline\lambda$.
- Se $v_1$ e $v_2$ são autovetores de $f$ com autovalores $\alpha_1$ e $\alpha_2$ distintos, então $v_1\perp v_2$.
\begin{align*}
\|f(v)\|^2&=\langle f(v),f(v)\rangle =\langle v,f^*(f(v))\rangle=\overline{\langle f(f^*(v),v\rangle}\\&=\overline{\langle f^*(v),f^*(v)\rangle}\\&=\overline{\| f^*(v)\|}=\|f^*(v)\|.
\end{align*}
2. Assuma que $f(v)=\lambda v$; ou seja $(f-\lambda\mbox{id})(v)=0$. Obtemos que $\|(f-\lambda\mbox{id})(v)\|=0$. Pelo item anterior, $\|(f-\lambda\mbox{id})^*(v)\|=0$. Então $(f-\lambda\mbox{id})^*(v)=0$; ou seja, $f^*(v)=\overline \lambda v$.
3. Temos que
\[
\alpha_1\langle v_1,v_2\rangle =\langle f(v_1),v_2\rangle=\langle v_1,f^*(v_2)\rangle = \alpha_2 \langle v_1,v_2\rangle.
\]
Logo $(\alpha_1-\alpha_2)\langle v_1,v_2\rangle=0$ e obtemos que $\langle v_1,v_2\rangle=0$.
A outra direção será demonstrada por indução na dimensão de $V$. Quando $\dim V=1$, então escolhe qualquer vetor não nulo $v\in V\setminus\{0\}$ e tome $\|v\|^{-1}v$ para base ortonormal formada por autovetores de $f$. Assuma que o resultado vale para espaços de dimensão $n-1$ e assuma que $\dim V=n$. Como o corpo é $\C$, $f$ possui autovalor $\lambda$ e seja $v\in V$ um autovetor não nulo. Seja $b_1=\|v\|^{-1}v$ um vetor unitário. Considere $U=\langle v\rangle$ e $W=U^\perp$. Note que $U$ é $f$-invariente. Mas $U$ também é $f^*$-invariante, pois $b_1$ é autovetor de $f^*$ com autovalor $\overline \lambda$. Assim, um resultado anterior implica que $W$ é $f$-invariante (pois $f=(f^*)^*$). As restrições de $f$ e $f^*$ para $W$ claramente comutam e $(f|_W)^*=(f^*)|_W$. Logo, a hipótese da indução é válida para $f|_W$ e $W$ e $W$ possui uma base $\{b_2,\ldots,b_n\}$ ortonormal formada por autovetores de $f$. Ora, $\{b_1,\ldots,b_n\}$ é a base procurada.
\[
A=\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1\end{pmatrix}
\]
na base canônica. Note que a matriz de $f^*$ é
\[
A^*=\begin{pmatrix} 1 & -i \\ -i & 1\end{pmatrix}
\]
e $f$ não é autoadjunto. Mas
\[
AA^*=A^*A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}
\]
e $f$ é normal. Note que os autovalores de $f$ são raízes do polinômio caraterístico $t^2-2t+2$ que são $1\pm i$. Os autovetores ortonormais correspondentes são $(1/\sqrt{2})(1,1)$ e $(1/\sqrt{2})(1,-1)$. Logo pondo
\[
P=\frac 1{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}
\]
temos que
\[
P^*AP=\begin{pmatrix} 1+i & 0 \\ 0 & 1-i\end{pmatrix}
\]