Lembre que $V^*$ é o espaço dual de $V$; ou seja,
\[
V^*=\mbox{Hom}(V,\F)=\{f:V\to \F\mid \mbox{$f$ é linear}\}.
\]
Para $v\in V$, definimos $\varphi_v\in V^*$ com
\[
\varphi_v(w)=B(w,v).
\]
O fato que $\varphi_v\in V^*$ segue do fato que $B$ é linear na primeira variável.
Defina
\[
\Phi:V\to V^*,\quad \Phi(v)=\varphi_v.
\]
\[
\Phi(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2)=\alpha_1^\sigma \Phi(v_1)+\alpha_2^\sigma\Phi(v_2).
\]
Ou seja, a transformação $\Phi$ é $\sigma$-semilinear. Além disso, $\Phi$ é injetiva, e quando $\dim V$ é finita, então $\Phi$ é sobrejetiva. Portanto, quando $\dim V$ for finita, $\Phi:V\to V^*$ é uma bijeção semilinear.
Assuma agora que $\dim V$ é finita e mostremos que $\Phi$ é sobrejetiva. Aqui nós tratamos apenas formas $\sigma$-hermitianas; o caso das formas alternadas é exercício. Escolha uma base ortogonal $B=\{b_1,\ldots,b_n\}$ em $V$. Note que $Q(b_i)=B(b_i,b_i)\neq 0$. Por exercício anterior, temos, para $v\in V$ que
\[
v=\sum_{i=1}^n \frac{B(v,b_i)}{Q(b_i)}b_i.
\]
Seja $\varphi\in V^*$ e defina
\[
v=\frac{\varphi(b_1)^\sigma}{Q(b_1)}b_1+\cdots+\frac{\varphi(b_n)^\sigma}{Q(b_n)}b_n.
\]
Afirmamos que $\varphi=\Phi(v)=\varphi_v$. Para isso, precisa-se provar que $\varphi(w)=\varphi_v(w)=B(w,v)$ para todo $w\in V$, mas é suficiente verificar esta igualdade nos elementos na base; ou seja precisamos provar que $\varphi(b_i)=B(b_i,v)$ para todo $i$. Vamos calcular que
\[
\varphi_v(b_i)=B(b_i,v)=B\left(b_i,\frac{\varphi(b_1)^\sigma}{Q(b_1)}b_1+\cdots+\frac{\varphi(b_n)^\sigma}{Q(b_n)}b_n\right)=\varphi(b_i).
\]
\[
B_W(f(v),w)=B_V(v,g(w))\quad\mbox{para todo}\quad v\in V,\ w\in W.
\]
\begin{align*}
B_V(v,\alpha_1g(w_1)+\alpha_2g(w_2))&=
\alpha_1^\sigma B_V(v,g(w_1))+\alpha_2^\sigma B_V(v,g(w_2))\\&=\alpha_1^\sigma B_W(f(v),w_1)+\alpha_2^\sigma B_W(f(v),w_2)\\&=B_W(f(v),\alpha_1 w_1+\alpha_2 w_2)
\\&=B_V(v,g(\alpha_1 w_1+\alpha_2 w_2)).
\end{align*}
Isso mostra que $\alpha_1g(w_1)+\alpha_2g(w_2)-g(\alpha_1 w_1+\alpha_2 w_2)$ está contido no radical de $B_V$, ou seja $\alpha_1g(w_1)+\alpha_2g(w_2)-g(\alpha_1 w_1+\alpha_2 w_2)=0$. Portanto
\[
\alpha_1g(w_1)+\alpha_2g(w_2)=g(\alpha_1 w_1+\alpha_2 w_2)
\]
vale para todo $w_1,w_2\in V$ e $\alpha_1,\alpha_2\in \F$ que implica que $g$ é linear.
Assuma que $g_1$ e $g_2$ são adjuntos de $f:V\to W$. Então temos para todo $v\in V$ e $w\in W$ que
\[
B_V(v,g_1(w))=B_W(f(v),g)=B_V(v,g_2(w)).
\]
Ou seja $g_1(w)-g_2(w)\in\mbox{Rad}(B_V)$ e $g_1=g_2$.
\[
\psi_w(v)=B_W(f(v),w).
\]
É fácil verificar que $\psi_w\in V^*$. Pelo lema acima, existe único $w^*\in V$ tal que $\psi_w=\varphi_{w^*}$. Defina $f^*(w)=w^*=B_V(-,w^*)$. Assim temos que
\[
B_W(f(v),w)=\psi_w(v)=\varphi_{w^*}(v)=B_V(v,w^*)=B_V(v,f^*(w)).
\]
A unicidade segue do lema anterior.
\[
A^*=G_V^{-1\sigma}A^{t\sigma}G_W^\sigma.
\]
Em particular, se $X_V$ e $X_W$ são bases ortonormais, então
\[
A^*=A^{t\sigma}.
\]
\[
B_W(f(v),w)=B_V(v,f^*(w))\quad\mbox{para todo}\quad v\in V\mbox{ e }w\in W.
\]
Escrevendo a igualdade acima com matrizes, temos que
\[
(A[v]_{X_V})^tG_W [w]_{X_W}^\sigma=[v]_{X_V}^tG_V (A^*[w]_{X_W})^\sigma.
\]
Daí
\[
[v]_{X_V}^t A^t G_W [w]_{X_W}^\sigma=[v]_{X_V}^tG_V A^{*\sigma}[w]_{X_W}^\sigma.
\]
Como a igualdade vale para todo $[v]_{X_V}\in\F^m$ e $[w]_{X_W}\in\F^n$, temos que
\[
A^t G_W=G_V A^{*\sigma}.
\]
Usando que $G_V$ é invertível, temos que
\[
A^*=A^{t\sigma}.
\]
- $(\alpha_1f+\alpha_2g)^*=\alpha_1^\sigma f^*+\alpha_2^\sigma g^*$;
- $f^{**}=f$;
- Se $f$ é invertível e existe $(f^{-1})^*$, então $(f^{-1})^*=(f^*)^{-1}$
- se $f,g:V\to V$, então $(f\circ g)^*=g^*\circ f^*$
\[
B_V(z,f^*(w))=B_V(f(z),w)=0.
\]