O Teorema da Decomposição Cíclica

Se $f:V\to V$ é um operador linear, e $A\leq V$, então definimos a pré-imagem de $A$ por $f$ como
\[
f^{-1}(A)=\{v\in V\mid f(v)\in A\}.
\]
Note que $f$ não precisa ser invertivel.

Demonstre as seguintes aformações para um endomorfismo $f:V\to V$ e para $A,B\leq V$:
  1. $f^{-1}(A)\leq V$;
  2. $\ker f\leq f^{-1}(A)$;
  3. $f^{-1}(f(A))=A+\ker f$;
  4. $f^{-1}(A+B)=f^{-1}(A)+f^{-1}(B)$;
  5. $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$.
Seja $V$ um espaço vetorial de dimensão não necessariamente finita e $f:V\to V$ um operador nilpotente com grau de nilpotência $d$ (ou seja, $m_f(t)=t^d$).
  1. Existe um vetor $v\in V$ tal que $f^{m-1}(v)\neq 0$.
  2. Pondo $U=\langle v,f(v),\ldots,f^{m-1}(v)\rangle$, existe $W\leq V$ $f$-invariante tal que $V=U\oplus W$.
Indução por $m$. Se $d=0$, então $f=0$, $U=\langle v\rangle$ e qualquer complemento $W$ de $U$ em $V$ serve.

Assuma que a afirmação está verdadeira para operadores de grau de nilpotência $d-1$. Considere $X=\mbox{Im}(f)$. Então a restrição $f_X=f|_X$ tem grau de nilpotência $m-1$ e $U_X=U\cap X=\langle f(v),\ldots,f^{m-1}(v)\rangle$ é um espaço $f$-cíclico de dimensão $m-1$ em $X$. Pela hipótese da indução, existe $W_X\leq X$ espaço $f$-invariante tal que
$$
X=U_X+W_X.
$$
Ponha
\[
\widetilde W=f^{-1}(W_X)=\{v\in V\mid f(v)\in W_X\}
\]
e note que $W\leq \widetilde W_X$, pois $W_X$ é $f$-invariante.

Afirmação 1: $V=U+\widetilde W$.

Prova da afirmação: De fato,
\begin{align*}
V&=f^{-1}(X)=f^{-1}(U_X+W_X)=f^{-1}(U_X)+f^{-1}(W_X)\\&=f^{-1}(f(U))+f^{-1}(W_X)=U+\ker f+\widetilde W\\&
U+\widetilde W.
\end{align*}
A última equação vale, pois $\ker f\leq \widetilde W=f^{-1}(W_X)$.

Afirmação 2: $U\cap W_X=0$.

Prova da afirmação: Usando a definição de $U_X$ e que $W_X$ é $f$-invariante, obtemos que
\[
f(U\cap W_X)=f(U)\cap f(W_X)\leq U_X\cap W_X=0.
\]
Ou seja, $U\cap W_X\leq \ker f$. Ora,
\[
U\cap W_X\leq U\cap \ker f\cap W_X=\langle f^{m-1}(v)\rangle\cap W_X\leq U_X\cap W_X=0.
\]

Afirmação 3: $W_X\cap (U\cap \widetilde W)=0$ e $W_X\oplus (U\cap \widetilde W)\leq \widetilde W$.

Prova da afirmação: A primeira afirmação (com a interseção) segue da Afirmação 2, enquanto a segunda segue da primeira e do fato que $W_X\leq \widetilde W$.

Agora escolha um complemento $Z$ de $W_X\oplus (U\cap \widetilde W)$ em $\widetilde W$. Qualquer complemento linear serve, não precisa ser $f$-invariante. Tendo escolhido $Z$, temos que
\begin{equation}\label{eq:ds}
\widetilde W=(W_X\oplus (U\cap \widetilde W))\oplus Z;
\end{equation}
em particular, $Z\cap (W_X\oplus (U\cap \widetilde W))=0$.

Afirmação 4: $V=U\oplus(W_X\oplus Z)$.

Prova da afirmação: Primeiro,
\[
V=U+\widetilde W= U+W_X\oplus (U\cap \widetilde W)\oplus Z=U+W_X\oplus Z.
\]
Ademais,$W_X\oplus Z\leq \widetilde W$, e, usando o fato que $\widetilde W$ é soma direta como acima,
\[
U\cap (W_X\oplus Z)\leq (W_X\oplus Z)\cap(U\cap \widetilde W)=0.
\]

Afirmação 5: $W_X\oplus Z$ é $f$-invariante.

Prova da afirmação: $W_X$ é $f$-invariante por escolha, enquanto $Z\leq \widetilde W=f^{-1}(W_X)$ que implica que $f(Z)\leq W_X$. Logo $f(Z\oplus W_X)\leq W_X$ e $W_X\oplus Z$ é $f$-invariante.

Assuma que $f:V\to V$ é um endomorfismo nilpotente de um espaço $V$ de dimensão finita. Então
\[
V=W_1\oplus \cdots\oplus W_k
\]
onde cada $W_i$ é um espaço $f$-cíclico (em particular, $W_i$ é $f$-invariante).
Indução pela dimensão de $V$. Se $\dim V=1$, então $V$ é $f$-cíclico e a afirmação vale com $k=1$ e $W_1=V$. Assuma que o corolário vale para espaços de dimensão menor que algum $k\geq 2$ e seja $V$ um espaço de dimensão $k$ e $f:V\to V$ nilpotente de grau $m$. Pelo resultado anterior, existe $v\in V$ tal que $f^{m-1}(v)\neq 0$ e defina $W_1=\langle v,f(v),\ldots,f^{m-1}(v)\rangle$. Se $m=\dim V$ e $W_1=V$, então o corolário vale com $k=1$ e $W_1=V$ e não temos nada mais para provar. No caso contrário, o teorema anterior implica que $V=W_1\oplus W$ com algum $W$ espaço $f$-invariante. Agora $\dim W < \dim V$ e aplicamos a hipótese da indução para $W$:
\[
W=W_2\oplus \cdots \oplus W_k
\]
com $W_i$ sendo $f$-cíclico para todo $i$. Ora
\[
W=W_1\oplus W_2\oplus \cdots \oplus W_k.
\]
é uma decomposição em espaços $f$-cíclicos.