$$
f^{-1}:V\to U,\quad f^{-1}(v)=u\mbox{ se e somente se }f(u)=v.
$$
Dizemos que $U$ e $V$ são isomorfos se existir um isomorfismo $f:U\to V$. Neste caso escrevemos que $U\cong V$. Note que espaços isomorfos são definidos sobre o mesmo corpo.
É fácil verificar que a aplicação identidade $\mbox{id}_V:V\to V$ é um isomorfismo para qualquer espaço $V$ e que a composição de isomorfismos é isomorfismo. Portanto, temos, para quaisquer espaços vetoriais $U$, $V$, $W$, que
- $V\cong V$;
- se $V\cong U$ então $U\cong V$;
- se $U\cong V$ e $V\cong W$, então $U\cong W$.
Espaços isomorfos compartilhas as propriedades importantes. Por exemplo, se $f:V\to W$ é um isomorfismo e $X$ é uma base de $V$, então $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$ é base de $W$. Em particular, $\dim V=\dim W$.
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v=\alpha_1 b_1+\cdots+\alpha_n b_n.
$$
O vetor $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ é chamado de vetor das coordenadas de $v$ na base $B$ e é denotado por $[v]_B$ ou mais simplesmente $v_B$. É fácil verificar que a transformação $f:V\to \F^n$ definido como
$$
f(v)=[v]_B\quad\mbox{para}\quad v\in V
$$
é um isomorfismo entre $V$ e $\F^n$.
Seja $f:U\to V$ uma transformação linear. Defina $\bar f:U/\ker f\to \mbox{Im}\,f$ com a regra
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\bar f(u+\ker f)=f(u)\quad\mbox{para todo}\quad u\in U.
$$
Então $f$ é um isomorfismo bem definido e $U/\ker f\cong \mbox{Im}\,f$.
$$
f(u_1)-f(u_2)=f(u_1-u_2)=0
$$
e assim $f(u_1)=f(u_2)$. Então $\bar f(u+\ker f)$ não depende da representante da classe lateral $u+\ker f$. Note também que $\bar f(u+\ker f)=f(u)\in \mbox{Im}\,f$ para todo $u\in U$. Portanto a aplicação $\bar f:U/\ker f\to \mbox{Im}\,f$ está bem definida.
É fácil verificar que $\bar f$ é linear. Verifiquemos que $\bar f$ é injetiva. Precisa provar que $\ker \bar f=0$. Seja $u+\ker f\in \ker\bar f$. Neste caso
$$
0=\bar f(u+\ker f)=f(u);
$$
ou seja $u\in \ker f$ e $u+\ker f=\ker f=0_{U/\ker f}$. Segeu que $\bar f$ é injetiva.
Ora se $v\in \mbox{Im}\,f$, então $f(u)=v$ com algum $u\in U$ e segeu que $\bar f(u+\ker f)=v$. Logo $\bar f$ é sobrejetiva.
Obtivemos que $\bar f:U/\ker f\to \mbox{Im}\,f$ é um isomorfismo e assim $U/\ker f\cong \mbox{Im}\,f$.
$$
\dim U=\dim \ker f+\dim \mbox{Im}\,f.
$$
Se $U$ e $V$ têm dimensão finita, então
$$
\dim \mbox{Im}\,f=\dim U-\dim\ker f.
$$