Isomorfismos

Uma transformação linear $f:U\to V$ é dito isomorfismo se $f$ é injetiva e sobrejetiva. Neste caso, podemos definir o inverso
$$
f^{-1}:V\to U,\quad f^{-1}(v)=u\mbox{ se e somente se }f(u)=v.
$$
Seja $f:U\to V$ um isomorfismo. Mostre que $f^{-1}:V\to U$ é linear.

Dizemos que $U$ e $V$ são isomorfos se existir um isomorfismo $f:U\to V$. Neste caso escrevemos que $U\cong V$. Note que espaços isomorfos são definidos sobre o mesmo corpo.

É fácil verificar que a aplicação identidade $\mbox{id}_V:V\to V$ é um isomorfismo para qualquer espaço $V$ e que a composição de isomorfismos é isomorfismo. Portanto, temos, para quaisquer espaços vetoriais $U$, $V$, $W$, que

  1. $V\cong V$;
  2. se $V\cong U$ então $U\cong V$;
  3. se $U\cong V$ e $V\cong W$, então $U\cong W$.

Espaços isomorfos compartilhas as propriedades importantes. Por exemplo, se $f:V\to W$ é um isomorfismo e $X$ é uma base de $V$, então $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$ é base de $W$. Em particular, $\dim V=\dim W$.

Seja $V$ um espaço de dimensão finita sobre um corpo $\F$. Assuma que $\dim V=n$. Seja $B=\{b_1,\ldots,b_n\}$ uma base de $V$. Se $v\in V$, então $v$ pode ser escrito unicamente na forma
$$
v=\alpha_1 b_1+\cdots+\alpha_n b_n.
$$
O vetor $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ é chamado de vetor das coordenadas de $v$ na base $B$ e é denotado por $[v]_B$ ou mais simplesmente $v_B$. É fácil verificar que a transformação $f:V\to \F^n$ definido como
$$
f(v)=[v]_B\quad\mbox{para}\quad v\in V
$$
é um isomorfismo entre $V$ e $\F^n$.
Se $V$ é um $\F$-espaço vetorial de dimensão $n$, então $V\cong \F^n$. Mais geralmente, se $U$ e $V$ são $\F$-espaços vetoriais de dimensão finita tais que $\dim U=\dim V$, então $U\cong V$.
(O Teorema de Núcleo e Imagem)
Seja $f:U\to V$ uma transformação linear. Defina $\bar f:U/\ker f\to \mbox{Im}\,f$ com a regra
$$
\bar f(u+\ker f)=f(u)\quad\mbox{para todo}\quad u\in U.
$$
Então $f$ é um isomorfismo bem definido e $U/\ker f\cong \mbox{Im}\,f$.
Primeiro verificamos que $\bar f$ está bem definido. Sejam $u_1,u_2\in U$ tais que $u_1+\ker f=u_2+\ker f$; ou seja, $u_1-u_2\in \ker f$. Logo
$$
f(u_1)-f(u_2)=f(u_1-u_2)=0
$$
e assim $f(u_1)=f(u_2)$. Então $\bar f(u+\ker f)$ não depende da representante da classe lateral $u+\ker f$. Note também que $\bar f(u+\ker f)=f(u)\in \mbox{Im}\,f$ para todo $u\in U$. Portanto a aplicação $\bar f:U/\ker f\to \mbox{Im}\,f$ está bem definida.

É fácil verificar que $\bar f$ é linear. Verifiquemos que $\bar f$ é injetiva. Precisa provar que $\ker \bar f=0$. Seja $u+\ker f\in \ker\bar f$. Neste caso
$$
0=\bar f(u+\ker f)=f(u);
$$
ou seja $u\in \ker f$ e $u+\ker f=\ker f=0_{U/\ker f}$. Segeu que $\bar f$ é injetiva.

Ora se $v\in \mbox{Im}\,f$, então $f(u)=v$ com algum $u\in U$ e segeu que $\bar f(u+\ker f)=v$. Logo $\bar f$ é sobrejetiva.

Obtivemos que $\bar f:U/\ker f\to \mbox{Im}\,f$ é um isomorfismo e assim $U/\ker f\cong \mbox{Im}\,f$.

Se $f:U\to V$ é uma transformação linear entre espaços vetoriais, então
$$
\dim U=\dim \ker f+\dim \mbox{Im}\,f.
$$
Se $U$ e $V$ têm dimensão finita, então
$$
\dim \mbox{Im}\,f=\dim U-\dim\ker f.
$$