- Mostre que um sistema $X$ ortogonal com $Q(b,b)\neq 0$ para todo $b\in X$ é l.i.
- Seja $X$ uma base ortogonal com $Q(b,b)\neq 0$ para todo $b\in X$. Mostre para $v\in V$ que
\[
v=\sum_{b\in X} \frac{B(v,b)}{B(b,b)}b
\]
(mostre que a soma na linha anterior é finita mesmo que $X$ seja infinita).
Avançamos por indução em $\dim V$. Se $\dim V=1$, então qualquer vetor $v\in V\setminus\{0\}$ é uma base ortogonal. Assuma que espaços de dimensão $n-1$ com formas não degeneradas têm bases ortogonais e assuma que $\dim V=n$. Seja $Q$ a forma quadrática associada com $B$; ou seja $Q(v)=B(v,v)$. Afirmamos que existe $v\in V$ tal que $Q(v)\neq 0$. Caso contrário, escolha $u,v\in V$ tal que $B(u,v)=1$ (eles existem) e obtenha por um lema na página anterior que
\[
0=B(u,v)+B(v,u)=B(u,v)+B(u,v)^\sigma=1+1^\sigma.
\]
Ou seja, $1^\sigma=-1$. Mas se $\mbox{car}(\F)\neq 2$, isso é impossível, pois $1^\sigma=1$ para todo automorfismo de $\F$. Logo existe vetor $b_1\in V$ tal que $Q(b_1)=B(b_1,b_1)\neq 0$. Seja $U=\langle b_1\rangle$ e considere $U^\perp$. Temos que $\dim U^\perp=\dim V-1$ ($B$ é não degenerada). Além disso, se $w$ pertençe ao radical de $B$ restringida a $U^\perp$, então $w\perp b_1$ e $w\in\mbox{Rad}(B)$. Logo a restrição de $B$ para $U^\perp$ é não degenerada. Pela hipótese da indução $U^\perp$ possui uma base $\{b_2,\ldots,b_n\}$ ortogonal. Ora $\{b_1,\ldots,b_n\}$ é base ortogonal de $V$.
- se $x$ é positivo, então $x^\sigma$ é positivo;
- $\sigma$ é não decrescente;
- $\sigma$ é contínua;
- sabendo que $Q\subseteq \mbox{Fix}(\sigma)$, deduza que $\sigma=\mbox{id}_\R$.
[Dica: consulte a discussão na página de StackExchange.]
- Se $\F=\C$ e $\sigma=\mbox{id}_\C$, então $V$ possui uma base ortonornal.
- Se $\F=\R$ ou $\F=\C$ e $\sigma$ é o conjugado complexo, então $V$ possui uma base ortogonal $\{b_1,\ldots,b_n\}$ tal que $B(b_i,b_i)=\pm 1$. Além disso, o número $p$ de $b_i$ com $B(b_i,b_i)=-1$ é independente a base escolhida.
1. Se $\F=\C$ e $B$ é simétrica, então podemos substituir $b_i$ por $b_i’=(\alpha_i)^{1/2} b_i$ e $\{b_1′,\ldots,b_n’\}$ é base ortonormal.
2. Ponha $b_i’=|\alpha_i|^{1/2}b_i$. Ora $\{b_1′,\ldots,b_n’\}$ é base com $B(b_i’,b_i’)=\pm 1$.
Assuma agora que $X=\{b_1,\ldots,b_k,b_{k+1},\ldots,b_n\}$ é base de $V$ tal que $Q(b_i)=-1$ para $i\in\{1,\ldots,k\}$ e $Q(b_i)=1$ para os demais $i$. Seja $Y=\{c_1,\ldots,c_m,c_{m+1},\ldots,c_n\}$ uma outra base com $Q(c_j)=-1$ para $j\in\{1,\ldots,m\}$ e $Q(c_j)=1$ para os demais $j$. Assuma que $k\geq m$. Afirmamos que
\[
b_1,\ldots,b_k,c_{m+1},\ldots,c_n
\]
é um sistema L.I. Assuma que
\[
\alpha_1b_1+\cdots +\alpha_kb_k+\alpha_{m+1}c_{m+1}+\cdots+\alpha_nc_n=0.
\]
Logo
\[
\alpha_1b_1+\cdots+ \alpha_kb_k=-\alpha_{m+1}c_{m+1}-\cdots-\alpha_nc_n.
\]
Aplicando $Q$ nos vetores $v$ e $w$ nos dois lados da equação acima, obtemos que $Q(v) \leq 0$, enquanto $Q(w) \geq 0$. Portanto $Q(v)=Q(w)=0$ e $\alpha_i=0$ para todo $i$. Isso implica que $k+n-m\leq n$; ou seja, $k\leq m$; ou seja $k=m$.
- Se $\F=\R$, então $\sigma=\mbox{id}_\R$ e $(V,B)$ é isométrico ao espaço $\R^{p+q}$ com alguns $q,p$ tais que $p+q=n$.
- Se $\F=\C$ e $\sigma$ é o conjugado complexo, então $(V,B)$ é isométrico ao espaço $\C^{p+q}$ com alguns $q,p$ tais que $p+q=n$.
- Se $\F=\C$ e $\sigma=\mbox{id}_\C$, então $V$ é isométrico ao espaço $\C^n$ com forma $B_0$ onde
\[
B_0(v,w)=v_1w_1+\cdots+v_nw_n.
\]
para $v=(v_1,\ldots,v_n)$ e $w=(w_1,\ldots,w_n)$.
- Se $A$ é simétrica, então existe uma matriz $X$ com entradas em $\F$ tal que
\[
XAX^t
\]
é diagonal. - Se $\F=\C$ e $A^t=\overline A$ (conjugada complexa de $A$), então existe $X$ com entradas em $\C$ tal que
\[
XA\overline X^t=I_{\pm 1,0}
\]
onde $I_{\pm 1,0}$ é uma matriz diagonal com entradas $-1,\ldots,-1,1,\ldots,1,0,\ldots,0$ na diagonal. - Se $\F=\C$ e $A$ é simétrica, então existe $X$ com entradas em $\C$ tal que
\[
XA X^t=I_0
\]
onde $I_0$ é matriz diagonal com entradas $1,\ldots,1,0,\ldots,0$ na diagonal principal. - Se $\F=\R$ e $A$ é simétrica, então existe $X$ com entradas em $\R$ tal que
\[
XAX^t=I_{\pm 1,0}
\]
onde $I_{\pm 1,0}$ é uma matriz diagonal com entradas $-1,\ldots,-1,1,\ldots,1,0,\ldots,0$ na diagonal.