- $(a+b)^\sigma=a^\sigma+b^\sigma$;
- $(ab)^\sigma=a^\sigma b^\sigma$.
2. Se $\F=\C$, então $\sigma:\C\to \C$, $z^\sigma=\bar z$ (conjugado complexo) é um automorfismo de $\C$.
3. Se $\F$ é um corpo de caraterística $p$ (primo), então a aplicação $\varphi:a\mapsto a^p$ é injetiva e satisfaz as duas propriedades na definição de automorfismo. Para um corpo arbitrário, $\varphi$ não precisa ser sobrejetiva, mas se $\F$ é finito, então $\varphi$, sendo injetiva, será obrigatoriamente sobrejetiva e é um automorfismo. O automorfismo $\varphi$ de um corpo finito $\F$ é chamado de automorfismo de Frobenius.
4. É fácil provar que a composição de automorfismos é automorfismo. Em particular, se $\F$ é um corpo finito de caraterística $p$, então
\[
\varphi^k:\F\to \F, \quad a\mapsto a^{p^k}
\]
é um automorfismo de $\F$. Vocês vão aprender na disciplina Grupos e Corpos que todos os automorfismos de corpos finitos têm esta forma.
5. Se
\[
\F=\{a+b\sqrt 2\mid a,b \in \Q\},
\]
então $a+b\sqrt 2\mapsto a-b\sqrt 2$ é um automorfismo.
- $B(\alpha u+\beta v,w)=\alpha B(u,w)+\beta B(v,w)$.
- $B(u,\alpha v+\beta w)=\alpha^\sigma B(u,v)+ \beta^\sigma B(u,w)$.
Ou seja, uma forma sesquilinear, é uma forma de duas variáveis que é linear na primeira variável e $\sigma$-semilinear na segunda.
\[
\mbox{Rad}_L(B)=\{v\in V\mid B(v,w)=0\mbox{ para todo }w\in V\}
\]
e
\[
\mbox{Rad}_R(B)=\{w\in V\mid B(v,w)=0\mbox{ para todo }v\in V\}.
\]
O $\mbox{Rad}_L(B)$ chama-se radical à esquerda, enquanto $\mbox{Rad}_R(B)$ chama-se radical à direita.
\[
(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)^\sigma=(\alpha_1^\sigma,\ldots,\alpha_n^\sigma).
\]
Temos que
\[
B(u,v)=([u]_X)^t G_X(B) ([v]_X)^\sigma.
\]
\[
(A+B)^\sigma =A^\sigma+B^\sigma\quad\mbox{e}\quad (AB)^\sigma=A^\sigma B^\sigma.
\]
\[
G_Y(B)=([\mbox{id}]^Y_X)^t G_X(B) [\mbox{id}^Y_X]^\sigma
\]
onde $[\mbox{id}^Y_X]^\sigma$ denota a matriz que obtemos de $[\mbox{id}^Y_X]$ aplicando $\sigma$ em todas as suas entradas.
\begin{align*}
&([v]_Y)^t([\mbox{id}]^Y_X)^t G_X(B) [\mbox{id}^Y_X]^\sigma ([w]_Y)^\sigma\\
&=([\mbox{id}]^Y_X [v]_Y)^tG_X(B)([\mbox{id}^Y_X][w]_Y)^\sigma\\
&=([v]_X)^tG_X(B)([w]_X)^\sigma =B(v,w).
\end{align*}
Isso implica que $G_Y(B)=([\mbox{id}]^Y_X)^t G_X(B) [\mbox{id}^Y_X]^\sigma$.
- $B$ é chamada $\sigma$-Hermitiana se $B(u,v)=B(v,u)^\sigma$ para todo $u,v\in V$.
- $B$ é chamada alternada se $B(u,u)=0$ para todo $u\in U$.
- Se $B$ é $\sigma$-Hermitiana, então $\sigma^2=\mbox{id}_\F$.
- Se $B$ é alternada, então $B(u,v)=-B(v,u)$ para todo $u,v\in V$.
- Se $B$ é alternada, então $\sigma=\mbox{id}_\F$.
- Se $\mbox{car}(\F)\neq 2$, e $B(u,v)=-B(v,u)$ para todo $u,v\in V$, então $B$ é alternada.
\[
\alpha=B(u,v)=B(v,u)^\sigma=B(u,v)^{\sigma^2}=\alpha^{\sigma^2}.
\]
Logo $\alpha^{\sigma^2}=\alpha$ e $\sigma^2=\mbox{id}_\F$.
2. Com $u,v\in V$, calculemos que
\begin{align*}
0&=B(u+v,u+v)=B(u,u)+B(u,v)+B(v,u)+B(v,v)\\&=B(u,v)+B(v,u).
\end{align*}
Logo $B(u,v)=-B(v,u)$.
3. Escolhe $u,v\in V$ tal que $B(u,v)=-B(v,u)=1$ (é possível trocando $u$ por um múltiplo escalar) e seja $\alpha\in \F$. Agora
\[
\alpha^\sigma=B(u,\alpha v)=-B(\alpha v,u)=-\alpha B(v,u)=\alpha.
\]
Ou seja $\alpha^\sigma=\alpha$ para todo $\alpha\in\F$ e $\sigma=\mbox{id}_\F$.
4. Assuma que $B(u,v)=-B(v,u)$ para todo $u,v$. Então $B(u,u)=-B(u,u)$ ou seja $2B(u,u)=0$ para todo $u\in V$. Se a caraterística do corpo é diferente de $2$, isso implica que $B(u,u)=0$ para todo $u\in V$.
- $B$ é simétrica se e somente se $G^t=G$;
- $B$ é alternada se e somente se $G^t=-G$;
- $B$ é $\sigma$-Hermitiana se e somente se $G^t=G^\sigma$.
- $B$ é alternada; ou
- $B$ é simétrica; ou
- $B$ é múltiplo escalar de uma forma $\sigma$-Hermitiana com $\sigma\neq \sigma^2=\mbox{id}_\F$
- $Q(v)\in\mbox{Fix}(\sigma)$;
- $Q(\alpha v)=\alpha\alpha^\sigma Q(v)=\alpha^{\sigma+1}Q(v)$;
- se $B$ é simétrica, então $Q(\alpha v)=\alpha^2 Q(v)$;
- $Q(u+v)-Q(u)-Q(v)=B(u,v)+B(v,u)=B(u,v)+B(u,v)^\sigma$;
- se $u\perp v$, então $Q(u+v)=Q(u)+Q(v)$ (Teorema de Pitágoras);
- $Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)$ (Regra do Paralelogramo);
- se $B$ for simétrica, então $Q(u+v)-Q(u)-Q(v)=2B(u,v)$.
Em particular, se $B$ for simétrica e $\mbox{car}(\F)\neq 2$, então
\[
B(u,v)=\frac 12(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))
\]
e $B$ está determinada por $Q$.
\[
U^\perp=\{v\in V\mid B(v,u)=0\mbox{ para todo }u\in U\}.
\]
- $U^\perp\leq V$;
- Se $U\leq W$, então $W^\perp\leq U^\perp$;
- $\mbox{Rad}(V)=V^\perp$ e $V^\perp\leq U^\perp$ para todo $U\leq V$;
- Se $B$ é não degenerada e $\dim V$ é finita, então $\dim U^\perp+\dim U=\dim V$.
\[
(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)G [w]_B^\sigma =0\quad \mbox{para todo}\quad w\in U
\]
que vale se e somente se
\[
(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)G [b_i]_B^\sigma =0\quad \mbox{para todo}\quad i\in\{1,\ldots,k\}.
\]
A equação anterior é equivalente ao sistema de equações
\[
(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)G e_i =0\quad \mbox{para todo}\quad i\in\{1,\ldots,k\}
\]
onde $e_1,\ldots,e_n$ é a base canônica de $\F^n$. Mas o sistema anterior é um sistema linear homogêneo com incôgnitas $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ e a matriz desta sistema está formada pelas primeiras $k$ linhas de $G^t$. Como $B$ é não degenerada, $G^t$ tem posto $k$ e o espaço de soluções tem dimensão $n-k$.
Na situação do item 4. do resultado anterior, se $U\cap U^\perp=0$, então $V=U\oplus U^\perp$ e $U^\perp$ é chamado de complemento ortogonal de $U$. Neste caso, escrevemos que $V=U\perp U^\perp$ para indicar que os dois espaços na decomposição são ortogonais.
\[
\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0\end{pmatrix}
\]
Se $U=\langle (1,i)\rangle$, então $U^\perp =U$ e $\C^2\neq U\oplus U^\perp$. Ou seja, o espaço ortogonal $U^\perp$ não é complemento ortogonal de $U$.