Se $\dim V=k$ é finita, então $\dim V^*=\dim V=k$.
Seja $B=\{b_i\mid i\in I\}$ uma base de $V$. Para $i\in I$, defina
$$
b_i^*\in V^*,\quad b_i^*(b_j)=\delta_{i,j}=\left\{\begin{array}{cc} 1 & \mbox{se $i=j$}\\
0 & \mbox{se $i\neq j$}\end{array}\right.
$$
$$
\alpha_1 b_{i_1}^*+\cdots+\alpha_m b_{i_m}^*=0_{V^*}.
$$
Denote o lado esquerdo da equação anterior por $\varphi$. Seja $j\in\{1,\ldots,m\}$ e calculemos que
\begin{align*}
0&=\varphi(b_{i_j})=(\alpha_1 b_{i_1}^*+\cdots+\alpha_m b_{i_m}^*)(b_{i_j})\\&=
\alpha_1 b_{i_1}^*(b_{i_j})+\cdots+\alpha_jb_{i_j}^*(b_{i_j})+\cdots+\alpha_m b_{i_m}^*(b_{i_j})\\&=\alpha_{i_j}.
\end{align*}
Então $\alpha_{i_j}=0$ para todo $j$. Ou seja, $B^*$ é L.I.
Se $\dim V$ é finita, então $\dim V=\dim V^*$ e assim $B^*$ (sendo um conjunto L.I. com cardinalidade $\dim V^*$) é base de $B^*$.
Quando $\dim V$ for finita, a base $B^*$ é chamada de base dual de $B$.
Note que se $\dim V$ é infinita, então $B^*$ não é conjunto gerador, pois a funcional $\varphi\in V^*$ que leva $\varphi(b_i)=1$ para todo $i$ não pertence ao subespaço $\langle B^*\rangle$.
Sejam $V$ e $W$ $\F$-espaços vetoriais, e seja $f\in\mbox{Hom}(V,W)$. Definimos o dual $f^*\in \mbox{Hom}(W^*,V^*)$ com a regra
$$
f^*(\varphi)=\varphi\circ f.
$$
Usando diagramas
$$
\begin{array}{cc}
W & \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} & \F\\
f\uparrow & \nearrow \\
V &&
\end{array}
$$
o mapa $f^*(\varphi)$ é representado pela flecha diaginal. Note que o morfismo original está de $V$ para $W$, enquanto o morfismo dual está de $W^*$ para $V^*$.
$$
[f^*]^{C^*}_{B^*}=([f]^B_C)^t
$$
onde $(-)^t$ significa a matriz transposta.
Se $\F$ é um corpo, a categoria dos $\F$-espaços vetoriais consiste
- nos $\F$-espaços vetoriais; e
- nos transformações lineares entre $\F$-espaços.
Neste contesto, as transformações lineares também são chamadas de morfismos ou flechas.
O conceito “dual” associa um espaço vetorial $V$ com seu dual $V^*$ e cada morfismo $f:V\to W$ com o seu dual $f^*:W^*\to V^*$. Além disso, é fácil verificar que
$$
\mbox{id}_V^*=\mbox{id}_{V^*}
$$
e que se $f:V\to U$ e $g:U\to W$ são transformações lineares, então
$$
(g\circ f)^*=f^*\circ g^*.
$$
Devido a estas propriedades, dizemos que o dual é um functor contravariante da categoria de espaços vetoriais.
Note que a correspondência entre $V$ e $V^*$ não é natural (ou canônica), pois precisa-se fixar uma base para definí-la. No entanto, existe uma correspondência natural entre $V$ e $V^{**}=(V^*)^*$. Os elementos de $V^{**}$ são transformações lineares em $\mbox{Hom}(V^*,\F)=\mbox{Hom}(\mbox{Hom}(V,\F),\F)$. Ou seja, se $\psi\in V^{**}$, então $\psi:V^*\to \F$ é linear.
Seja $v\in V$ e defina
$$
\psi_v:V^*\to \F,\quad \psi_v(\varphi)=\varphi(v)\quad \mbox{para todo}\quad \varphi\in V^*.
$$
O leitor deve verificar que $\psi_v:V^*\to \F$ é linear e assim $\psi_v\in V^{**}$.
Defina
$$
\Psi:V\to V^{**},\quad \Psi(v)=\psi_v.
$$
$$
0=\psi_v(v^*)=v^*(v)=1.
$$
Isso é uma contradição, então $v=0$ deve valer. Assim $\ker\Psi=0$ e $\Psi$ é injetiva.
Se $\dim V=k$ finita, então $\dim V^{**}=\dim V^*=\dim V$ e uma aplicação injetiva $V\to V^{**}$ é um isomorfismo.
Note que se $f\in\mbox{Hom}(V,W)$, então já definimos $f^*:W^*\to V^*$ e podemos definir $f^{**}:V^{**}\to W^{**}$ como
$$
f^{**}(\gamma)=\gamma \circ f^*\quad\mbox{para todo}\quad \gamma\in V^{**}.
$$
Usando diagramas
$$
\begin{array}{cc}
V^* & \stackrel{\gamma}{\longrightarrow} & \F\\
f^*\uparrow & \nearrow \\
W^* &&
\end{array}
$$
o mapa $f^{**}(\gamma)$ está representado pela flecha diagonal. Mais detalhadamente, temos para $\gamma\in V^{**}$, $\varphi\in W^*$ que
$$
f^{**}(\gamma)(\varphi)=(\gamma\circ f^*)(\varphi)=\gamma(f^*(\varphi))=\gamma(\varphi\circ f).
$$
É fácil verificar que
$$
\mbox{id}_V^{**}=\mbox{id}_{V^{**}}
$$
e que se $f:V\to U$ e $g:U\to W$ são transformações lineares, então
$$
(g\circ f)^{**}=g^{**}\circ f^{**}.
$$
Ou seja, o duplo dual é um functor covariante da categoria dos $\F$-espaços vetoriais.