Dimensão

Use o Teorema de Normalização de Noether para escolher \(t_1,\ldots,t_n\in R\) algebricamente independentes tal que \[\mathfrak p_i\cap P=(t_1,\ldots,t_{h_i})_P\] para \(i\in\{1,\ldots,r\}\) onde \(P=k[t_1,\ldots,t_n]\). Ponha \(\mathbb L=\mbox{Frac}(R)\) e \(\mathbb K=\mbox{Frac}(P)\). Se \(a/b\in\mathbb L\), então \(a\) e \(b\) são integrais sobre \(R\) e \(a\) e \(b\) são obviamente algébricos sobre \(\mathbb K=\mbox{Frac}(R)\). Assim \(a/b\) é algébrico sobre \(\mathbb K\). Logo, a extensão \(\mathbb K\subseteq \mathbb L\) é algébrica e assim \(d=n\). O primo \(\mathfrak p_i\) está acima de \(\mathfrak p_i\cap P\) e o lema de incomparabilidade implica que \(\mathfrak p_i\cap P\neq \mathfrak p_{i+1}\cap P\) para todo \(i\) e \(h_1<h_2<\cdots<h_r\). Logo \(r\leq n=d\). Em particular, \(d\) é o maior valor possível para \(r\) e neste caso a cadeia é saturada.

Assuma que a cadeia \((\mathfrak p_i)\) é saturada e tem comprimento \(r\). Neste caso \(\mathfrak p_1=0\) e \(h_1=0\) e \(\mathfrak p_r\) é maximal. Como \(P\subseteq R\) é integral, temos que \(\mathfrak p_r\cap P\) é maximal e \(h_r=n\). Se \(r<n\), precisa existir algum \(i\) tal que \(h_{i}+2\leq h_{i+1}\) temos que \[\mathfrak p_i\cap P=(t_1,\ldots,t_{h_i})_P\subset (t_1,\ldots,t_{h_{i}},t_{h_i+1})_P \subset
(t_1,\ldots,t_{h_{i+1}})_P=\mathfrak p_{i+1}\cap P.\] Ponha \(\mathfrak r= (t_1,\ldots,t_{h_{i}},t_{h_i+1})_P\). Então \(P/(\mathfrak p_i\cap P)\cong k[t_{h_i+1},\ldots,t_n]\) é um anel de polinômios sobre \(k\), e é um domínio normal. Além disso, o mapa \(P/(\mathfrak p_i\cap P)\to R/\mathfrak p_i\) definido por \(p+(\mathfrak p_i\cap P)\mapsto p+\mathfrak p_i\) é injetiva e \(P/(\mathfrak p_i\cap P)\subseteq R/\mathfrak p_i\) é uma extensão integral, pois \(P\subseteq R\) é integral. Pelo Teorema de Going-down, existe um primo \(\mathfrak p\in \mbox{Spec}(R)\) tal que \(\mathfrak p/\mathfrak p_i\in\mbox{Spec}(R/\mathfrak p_i)\) está acima de \(\mathfrak r/(\mathfrak p_i\cap P)\) e \(\mathfrak p/\mathfrak p_i\subset \mathfrak p_{i+1}/\mathfrak p_i\). Como \(\mathfrak r/(\mathfrak p_i\cap P)\neq 0\), \(\mathfrak p\neq \mathfrak p_i\) e \(\mathfrak p_i\subset \mathfrak p\subset \mathfrak p_{i+1}\). Obtivemos uma contradição, pois a cadeia \((\mathfrak p_i)\) foi assumida saturada.

Assuma que \[\mathfrak p_1\subset \mathfrak p_2\subset \cdots\subset \mathfrak p=\mathfrak p_i\subset\cdots \subset \mathfrak p_r\] é uma cadeia saturada dos primos que contém \(\mathfrak p\). Então \(r\) é igual ao grau de transcendência de \(R\) sobre \(k\) e \(r=\dim R\). Por outro lado \[\label{eq:c1}
\mathfrak p_i/\mathfrak p\subset \cdots\subset \mathfrak p_r/\mathfrak p_i\] é uma cadeia em \(\mbox{Spec}(R/\mathfrak p)\) e \[\label{eq:c2}
\mathfrak p_1 R_{(\mathfrak p)}\subset \cdots \subset\mathfrak p_i R_{(\mathfrak p)}\] é uma cadeia em \(\mbox{Spec}(R_{(\mathfrak p)})\). Assim \(\dim R/\mathfrak p+\dim R_{(\mathfrak p)}\geq \dim R\geq r\). Por outro lado, cadeias como as duas acima resultam em cadeias em \(\mbox{Spec}(R)\) e assim \(\dim R\geq
\dim R/\mathfrak p+\dim R_{(\mathfrak p)}\). Logo \[\dim R_{(\mathfrak p)}+\dim R/\mathfrak p=\dim R.\] A segunda afirmação segue da primeira observando que \(\dim R/\mathfrak m=0\) como \(R/\mathfrak m\) é um corpo.